Номер 76, страница 411 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

76. Решите уравнение:

1) $2\sin x \sin 2x + \cos 3x = 0$;

2) $\sin(x + 45^{\circ})\sin(x - 15^{\circ}) = 0,5$.

1) $2\sin x \sin 2x + \cos 3x = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму (разность) косинусов: $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$.

Применим эту формулу к выражению $2\sin x \sin 2x$, где $\alpha = x$ и $\beta = 2x$:

$2\sin x \sin 2x = \cos(x - 2x) - \cos(x + 2x) = \cos(-x) - \cos(3x)$.

Так как косинус является четной функцией, $\cos(-x) = \cos x$. Следовательно, получаем:

$2\sin x \sin 2x = \cos x - \cos 3x$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(\cos x - \cos 3x) + \cos 3x = 0$

Упростим уравнение, сократив $\cos 3x$ и $-\cos 3x$:

$\cos x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, общее решение которого имеет вид:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin(x + 45^\circ)\sin(x - 15^\circ) = 0.5$

Для решения этого уравнения также воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций, а именно: $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.

В данном случае $\alpha = x + 45^\circ$ и $\beta = x - 15^\circ$.

Найдем разность и сумму углов:

$\alpha - \beta = (x + 45^\circ) - (x - 15^\circ) = x + 45^\circ - x + 15^\circ = 60^\circ$.

$\alpha + \beta = (x + 45^\circ) + (x - 15^\circ) = 2x + 30^\circ$.

Подставим эти значения в формулу:

$\sin(x + 45^\circ)\sin(x - 15^\circ) = \frac{1}{2}(\cos 60^\circ - \cos(2x + 30^\circ))$.

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение, зная, что $0.5 = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2}(\cos 60^\circ - \cos(2x + 30^\circ)) = \frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\cos 60^\circ - \cos(2x + 30^\circ) = 1$

Известно, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{1}{2} - \cos(2x + 30^\circ) = 1$

Выразим $\cos(2x + 30^\circ)$:

$-\cos(2x + 30^\circ) = 1 - \frac{1}{2}$

$-\cos(2x + 30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x + 30^\circ) = -\frac{1}{2}$

Общее решение для уравнения $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x + 30^\circ$ и $a = -\frac{1}{2}$. Значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$.

$2x + 30^\circ = \pm 120^\circ + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая для нахождения $x$:

a) С положительным знаком:

$2x + 30^\circ = 120^\circ + 360^\circ k$

$2x = 120^\circ - 30^\circ + 360^\circ k$

$2x = 90^\circ + 360^\circ k$

$x = 45^\circ + 180^\circ k$

б) С отрицательным знаком:

$2x + 30^\circ = -120^\circ + 360^\circ k$

$2x = -120^\circ - 30^\circ + 360^\circ k$

$2x = -150^\circ + 360^\circ k$

$x = -75^\circ + 180^\circ k$

Ответ: $x = 45^\circ + 180^\circ k, x = -75^\circ + 180^\circ k, k \in \mathbb{Z}$.