gdz.top
Номер 69, страница 411 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения для повторения курса алгебры и начал анализа 10 класса. Тригонометрические уравнения и неравенства - номер 69, страница 411.
№68
№69 (с. 411)
Условие. №69 (с. 411)
69. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
$\sin^2x + \cos x + 1 = 0.$
Решение. №69 (с. 411)
Для решения уравнения $\sin^2 x + \cos x + 1 = 0$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
Выразим из тождества $\sin^2 x$:
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-\cos^2 x + \cos x + 2 = 0$
Умножим все члены уравнения на -1 для удобства:
$\cos^2 x - \cos x - 2 = 0$
Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений косинуса $[-1, 1]$, наша замена $t$ должна удовлетворять условию $-1 \le t \le 1$.
$t^2 - t - 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1$
Вернемся к замене $t = \cos x$:
1. $\cos x = 2$. Этот корень не удовлетворяет условию $-1 \le \cos x \le 1$, следовательно, у этого уравнения нет решений.
2. $\cos x = -1$. Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решения находятся по формуле:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Для этого переберем целочисленные значения $n$:
- При $n=0$, $x = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$. Это положительный корень.
- При $n=-1$, $x = \pi + 2\pi \cdot (-1) = \pi - 2\pi = -\pi$. Это отрицательный корень.
- При $n=-2$, $x = \pi + 2\pi \cdot (-2) = \pi - 4\pi = -3\pi$. Это тоже отрицательный корень.
Отрицательные корни образуют последовательность: $-\pi, -3\pi, -5\pi, \ldots$.
Наибольшим из них является тот, что ближе всего к нулю, то есть $-\pi$.
Ответ: $-\pi$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 69 расположенного на странице 411 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №69 (с. 411), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.