Номер 66, страница 410 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

66. Решите уравнение $\arcsin x \cdot \arccos x = - \frac{3\pi^2}{16}$.

Исходное уравнение: $arcsin(x) \cdot arccos(x) = -\frac{3\pi^2}{16}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется из области определения функций $arcsin(x)$ и $arccos(x)$, что соответствует отрезку $x \in [-1, 1]$.

Для решения этого уравнения воспользуемся основным тождеством для обратных тригонометрических функций:
$arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$.

Из этого тождества выразим $arccos(x)$:
$arccos(x) = \frac{\pi}{2} - arcsin(x)$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$arcsin(x) \cdot (\frac{\pi}{2} - arcsin(x)) = -\frac{3\pi^2}{16}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = arcsin(x)$. При этом необходимо учесть область значений функции арксинус: $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:
$y \cdot (\frac{\pi}{2} - y) = -\frac{3\pi^2}{16}$.
Раскроем скобки: $\frac{\pi}{2}y - y^2 = -\frac{3\pi^2}{16}$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ay^2+by+c=0$:
$y^2 - \frac{\pi}{2}y - \frac{3\pi^2}{16} = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-\frac{\pi}{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\frac{3\pi^2}{16}) = \frac{\pi^2}{4} + \frac{12\pi^2}{16} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{3\pi^2}{4} = \frac{4\pi^2}{4} = \pi^2$.

Теперь найдем корни уравнения для $y$:
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{\frac{\pi}{2} \pm \sqrt{\pi^2}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} \pm \pi}{2}$.

Получаем два возможных значения для $y$:
$y_1 = \frac{\frac{\pi}{2} + \pi}{2} = \frac{3\pi/2}{2} = \frac{3\pi}{4}$.
$y_2 = \frac{\frac{\pi}{2} - \pi}{2} = \frac{-\pi/2}{2} = -\frac{\pi}{4}$.

Проверим, соответствуют ли найденные корни ограничению $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$:
1. $y_1 = \frac{3\pi}{4}$. Этот корень не удовлетворяет условию, так как $\frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{2}$. Следовательно, это посторонний корень.
2. $y_2 = -\frac{\pi}{4}$. Этот корень удовлетворяет условию, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, единственным решением для $y$ является $y = -\frac{\pi}{4}$.

Выполним обратную замену:
$arcsin(x) = -\frac{\pi}{4}$.

Отсюда находим $x$:
$x = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это значение принадлежит ОДЗ $x \in [-1, 1]$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.