Номер 70, страница 411 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

70. Сколько корней уравнения $\cos 2x + \sin x = \cos^2 x$ принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$?

Для того чтобы найти количество корней уравнения на заданном промежутке, сначала решим само уравнение:

$\cos{2x} + \sin{x} = \cos^2{x}$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}$ и основным тригонометрическим тождеством $\cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}$, чтобы привести уравнение к одной переменной $\sin{x}$.

$(1 - 2\sin^2{x}) + \sin{x} = 1 - \sin^2{x}$

Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:

$1 - 2\sin^2{x} + \sin{x} - 1 + \sin^2{x} = 0$

$-\sin^2{x} + \sin{x} = 0$

Умножим обе части на -1:

$\sin^2{x} - \sin{x} = 0$

Вынесем общий множитель $\sin{x}$ за скобки:

$\sin{x}(\sin{x} - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1. $\sin{x} = 0$
2. $\sin{x} - 1 = 0 \Rightarrow \sin{x} = 1$

Найдем общие решения для каждого из этих уравнений:

• Для $\sin{x} = 0$ решением является серия корней $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Для $\sin{x} = 1$ решением является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем, какие из этих корней принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$.

1. Для серии $x = k\pi$:

• при $k = -1$, $x = -\pi$. Этот корень принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$.
• при $k = 0$, $x = 0$. Этот корень принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$.
• при $k = 1$, $x = \pi$. Этот корень принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$.

При других целых значениях $k$ корни будут выходить за пределы указанного промежутка. Таким образом, из этой серии получаем 3 корня.

2. Для серии $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$:

• при $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Этот корень принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$.

При $k=1$ корень $x = \frac{5\pi}{2} > \pi$, а при $k=-1$ корень $x = -\frac{3\pi}{2} < -\pi$. Таким образом, из этой серии получаем 1 корень.

Суммируя найденные корни, получаем: $-\pi, 0, \pi, \frac{\pi}{2}$. Все они различны.

Всего на промежутке $[-\pi; \pi]$ уравнение имеет 4 корня.

Ответ: 4