Номер 64, страница 410 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

64. Вычислите:

1) $\cos\left(\arcsin \frac{3}{5} - \arccos \frac{5}{13}\right);$

2) $\sin\left(\arccos \frac{1}{3} + \arccos \frac{2}{3}\right);$

3) $\cos(\operatorname{arctg} 2);$

4) $\sin(\operatorname{arctg} (-2)).$

1) Обозначим $α = \operatorname{arcsin}\frac{3}{5}$ и $β = \operatorname{arccos}\frac{5}{13}$. Тогда $sin(α) = \frac{3}{5}$ и $cos(β) = \frac{5}{13}$. Требуется найти $cos(α - β)$. Воспользуемся формулой косинуса разности: $cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)$.
Найдем $cos(α)$ и $sin(β)$ из основного тригонометрического тождества $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. Поскольку аргументы арксинуса и арккосинуса положительны, углы $α$ и $β$ лежат в первой четверти (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$), поэтому их синусы и косинусы положительны.
$cos(α) = \sqrt{1 - sin^2(α)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
$sin(β) = \sqrt{1 - cos^2(β)} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
Подставим найденные значения в формулу:
$cos(α - β) = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{56}{65}$.
Ответ: $\frac{56}{65}$.

2) Обозначим $α = \operatorname{arccos}\frac{1}{3}$ и $β = \operatorname{arccos}\frac{2}{3}$. Тогда $cos(α) = \frac{1}{3}$ и $cos(β) = \frac{2}{3}$. Требуется найти $sin(α + β)$. Воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)$.
Найдем $sin(α)$ и $sin(β)$. Поскольку аргументы арккосинусов положительны, углы $α$ и $β$ лежат в первой четверти, и их синусы положительны.
$sin(α) = \sqrt{1 - cos^2(α)} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
$sin(β) = \sqrt{1 - cos^2(β)} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Подставим найденные значения в формулу:
$sin(α + β) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9} + \frac{\sqrt{5}}{9} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}$.

3) Пусть $α = \operatorname{arctg}2$. Это означает, что $tan(α) = 2$. Так как $2 > 0$, угол $α$ находится в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$, и его косинус положителен. Для нахождения $cos(α)$ воспользуемся тождеством $1 + tan^2(α) = \frac{1}{cos^2(α)}$.
$1 + 2^2 = \frac{1}{cos^2(α)} \implies 5 = \frac{1}{cos^2(α)} \implies cos^2(α) = \frac{1}{5}$.
Поскольку $cos(α) > 0$, получаем $cos(α) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

4) Пусть $α = \operatorname{arcctg}(-2)$. Это означает, что $cot(α) = -2$. По определению арккотангенса, угол $α$ находится в интервале $(0, \pi)$. Так как $cot(α) < 0$, угол $α$ находится во второй четверти $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, и его синус положителен. Для нахождения $sin(α)$ воспользуемся тождеством $1 + cot^2(α) = \frac{1}{sin^2(α)}$.
$1 + (-2)^2 = \frac{1}{sin^2(α)} \implies 5 = \frac{1}{sin^2(α)} \implies sin^2(α) = \frac{1}{5}$.
Поскольку $sin(α) > 0$, получаем $sin(α) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$.