Номер 62, страница 410 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

62. Упростите выражение:

1) $(\sin \frac{\alpha}{4} + \cos \frac{\alpha}{4})(\sin \frac{\alpha}{4} - \cos \frac{\alpha}{4})$

2) $\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha + 2\sin^2\alpha}$

Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Применим формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

В нашем случае $a = \sin\frac{\alpha}{4}$ и $b = \cos\frac{\alpha}{4}$.

$(\sin\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{\alpha}{4})(\sin\frac{\alpha}{4} - \cos\frac{\alpha}{4}) = (\sin\frac{\alpha}{4})^2 - (\cos\frac{\alpha}{4})^2 = \sin^2\frac{\alpha}{4} - \cos^2\frac{\alpha}{4}$.

Вынесем знак минус за скобки, чтобы привести выражение к формуле косинуса двойного угла:

$\sin^2\frac{\alpha}{4} - \cos^2\frac{\alpha}{4} = -(\cos^2\frac{\alpha}{4} - \sin^2\frac{\alpha}{4})$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$. В данном случае $x = \frac{\alpha}{4}$, следовательно $2x = 2 \cdot \frac{\alpha}{4} = \frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, получаем:

$-(\cos^2\frac{\alpha}{4} - \sin^2\frac{\alpha}{4}) = -\cos(2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = -\cos(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $-\cos(\frac{\alpha}{2})$

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Числитель: $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - \sin2\alpha$.

Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Тогда $\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + \sin2\alpha$.

Подставим это обратно в выражение числителя:

$(1 + \sin2\alpha) - \sin2\alpha = 1$.

Знаменатель: $\cos2\alpha + 2\sin^2\alpha$.

Используем одну из формул косинуса двойного угла: $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Подставим ее в знаменатель:

$(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) + 2\sin^2\alpha = \cos^2\alpha + (-\sin^2\alpha + 2\sin^2\alpha) = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha$.

Снова применяем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$. Знаменатель равен 1.

Итоговое выражение:

Подставляем упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{1}{1} = 1$.

Ответ: 1