Номер 63, страница 410 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

63. Докажите тождество:

1) $ \cos 3\alpha - \cos 4\alpha - \cos 5\alpha + \cos 6\alpha = -4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \alpha \cos \frac{9\alpha}{2} $

2) $ \frac{2(\sin 2\alpha + 2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos \alpha - \sin \alpha - \cos 3\alpha + \sin 3\alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} $

3) $ (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} $

4) $ \sin \alpha + \sin \beta + \sin (\alpha - \beta) = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $

5) $ \frac{\sin 2\alpha \cos 4\alpha (1 + \cos 2\alpha)}{(\sin 3\alpha + \sin \alpha)(\cos 3\alpha + \cos 5\alpha)} = \frac{1}{2} $

6) $ \sin^2 \left(\frac{15\pi}{8} - 2\alpha\right) - \cos^2 \left(\frac{17\pi}{8} - 2\alpha\right) = -\frac{\cos 4\alpha}{\sqrt{2}} $

1) Докажите тождество $ \cos 3\alpha - \cos 4\alpha - \cos 5\alpha + \cos 6\alpha = -4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \alpha \cos \frac{9\alpha}{2} $.

Сгруппируем слагаемые в левой части тождества: $ (\cos 6\alpha + \cos 3\alpha) - (\cos 4\alpha + \cos 5\alpha) $.

Применим формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $ к каждой скобке.

$ \cos 6\alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{6\alpha+3\alpha}{2} \cos \frac{6\alpha-3\alpha}{2} = 2 \cos \frac{9\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2} $.

$ \cos 4\alpha + \cos 5\alpha = 2 \cos \frac{4\alpha+5\alpha}{2} \cos \frac{4\alpha-5\alpha}{2} = 2 \cos \frac{9\alpha}{2} \cos(-\frac{\alpha}{2}) = 2 \cos \frac{9\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $.

Подставим полученные выражения обратно в левую часть:

$ 2 \cos \frac{9\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2} - 2 \cos \frac{9\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $.

Вынесем общий множитель $ 2 \cos \frac{9\alpha}{2} $ за скобки:

$ 2 \cos \frac{9\alpha}{2} (\cos \frac{3\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}) $.

Теперь применим формулу разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} $ к выражению в скобках:

$ \cos \frac{3\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} = -2 \sin \frac{\frac{3\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}}{2} \sin \frac{\frac{3\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2} = -2 \sin \frac{2\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2} = -2 \sin \alpha \sin \frac{\alpha}{2} $.

Подставим это обратно и получим:

$ 2 \cos \frac{9\alpha}{2} \cdot (-2 \sin \alpha \sin \frac{\alpha}{2}) = -4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \alpha \cos \frac{9\alpha}{2} $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажите тождество $ \frac{2(\sin 2\alpha + 2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos \alpha - \sin \alpha - \cos 3\alpha + \sin 3\alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} $.

Преобразуем числитель дроби, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $:

$ 2(\sin 2\alpha + (2\cos^2 \alpha - 1)) = 2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha) $.

Теперь преобразуем знаменатель, сгруппировав слагаемые:

$ (\sin 3\alpha - \sin \alpha) - (\cos 3\alpha - \cos \alpha) $.

Применим формулы разности синусов $ \sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} $ и разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} $:

$ \sin 3\alpha - \sin \alpha = 2 \cos \frac{3\alpha+\alpha}{2} \sin \frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \sin \alpha $.

$ \cos 3\alpha - \cos \alpha = -2 \sin \frac{3\alpha+\alpha}{2} \sin \frac{3\alpha-\alpha}{2} = -2 \sin 2\alpha \sin \alpha $.

Знаменатель принимает вид:

$ 2 \cos 2\alpha \sin \alpha - (-2 \sin 2\alpha \sin \alpha) = 2 \cos 2\alpha \sin \alpha + 2 \sin 2\alpha \sin \alpha = 2 \sin \alpha (\cos 2\alpha + \sin 2\alpha) $.

Теперь запишем всю дробь:

$ \frac{2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)}{2 \sin \alpha (\cos 2\alpha + \sin 2\alpha)} $.

Сокращаем общий множитель $ 2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha) $ в числителе и знаменателе, при условии что он не равен нулю:

$ \frac{1}{\sin \alpha} $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажите тождество $ (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2 = 4\sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} $.

Раскроем квадраты в левой части тождества:

$ (\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta) + (\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta) $.

Сгруппируем слагаемые:

$ (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получим:

$ 1 + 1 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) $.

Применим формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $:

$ 2 - 2 \cos(\alpha - \beta) = 2(1 - \cos(\alpha - \beta)) $.

Используем формулу понижения степени (или половинного угла) $ 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} $:

$ 2 \cdot (2 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажите тождество $ \sin \alpha + \sin \beta + \sin(\alpha - \beta) = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $.

Сначала применим формулу суммы синусов к первым двум слагаемым $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Затем используем формулу синуса двойного угла $ \sin x = 2 \sin(x/2) \cos(x/2) $ для третьего слагаемого $ \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Левая часть примет вид:

$ 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} + 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Вынесем общий множитель $ 2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $ за скобки:

$ 2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2} [\sin \frac{\alpha+\beta}{2} + \sin \frac{\alpha-\beta}{2}] $.

К выражению в квадратных скобках применим формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $, где $ x = \frac{\alpha+\beta}{2} $ и $ y = \frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{\frac{\alpha+\beta}{2} + \frac{\alpha-\beta}{2}}{2} = \frac{\alpha}{2} $.

$ \frac{x-y}{2} = \frac{\frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\alpha-\beta}{2}}{2} = \frac{\beta}{2} $.

Таким образом, $ \sin \frac{\alpha+\beta}{2} + \sin \frac{\alpha-\beta}{2} = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} $.

Подставим это обратно в наше выражение:

$ 2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \cdot [2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}] = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5) Докажите тождество $ \frac{\sin 2\alpha \cos 4\alpha (1 + \cos 2\alpha)}{(\sin 3\alpha + \sin \alpha)(\cos 3\alpha + \cos 5\alpha)} = \frac{1}{2} $.

Преобразуем числитель, используя формулу $ 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha $:

Числитель: $ \sin 2\alpha \cos 4\alpha \cdot (2 \cos^2 \alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos 4\alpha \cos^2 \alpha $.

Теперь преобразуем знаменатель, используя формулы суммы синусов и суммы косинусов.

Для первой скобки $ \sin 3\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha $.

Для второй скобки $ \cos 3\alpha + \cos 5\alpha = \cos 5\alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{5\alpha+3\alpha}{2} \cos \frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos \alpha $.

Знаменатель: $ (2 \sin 2\alpha \cos \alpha) \cdot (2 \cos 4\alpha \cos \alpha) = 4 \sin 2\alpha \cos 4\alpha \cos^2 \alpha $.

Запишем всю дробь с преобразованными числителем и знаменателем:

$ \frac{2 \sin 2\alpha \cos 4\alpha \cos^2 \alpha}{4 \sin 2\alpha \cos 4\alpha \cos^2 \alpha} $.

Сократим общие множители $ \sin 2\alpha $, $ \cos 4\alpha $ и $ \cos^2 \alpha $ (при условии, что они не равны нулю):

$ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6) Докажите тождество $ \sin^2(\frac{15\pi}{8} - 2\alpha) - \cos^2(\frac{17\pi}{8} - 2\alpha) = -\frac{\cos 4\alpha}{\sqrt{2}} $.

Применим формулы понижения степени $ \sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2} $ и $ \cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2} $ к левой части выражения.

Левая часть = $ \frac{1 - \cos(2(\frac{15\pi}{8} - 2\alpha))}{2} - \frac{1 + \cos(2(\frac{17\pi}{8} - 2\alpha))}{2} $.

$ = \frac{1 - \cos(\frac{15\pi}{4} - 4\alpha)}{2} - \frac{1 + \cos(\frac{17\pi}{4} - 4\alpha)}{2} $.

Приведем к общему знаменателю:

$ = \frac{1 - \cos(\frac{15\pi}{4} - 4\alpha) - 1 - \cos(\frac{17\pi}{4} - 4\alpha)}{2} $.

$ = -\frac{\cos(\frac{15\pi}{4} - 4\alpha) + \cos(\frac{17\pi}{4} - 4\alpha)}{2} $.

Упростим аргументы косинусов, используя периодичность функции косинуса:

$ \frac{15\pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4} $, следовательно, $ \cos(\frac{15\pi}{4} - 4\alpha) = \cos(4\pi - \frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \cos(-\frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \cos(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $.

$ \frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4} $, следовательно, $ \cos(\frac{17\pi}{4} - 4\alpha) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) $.

Подставим упрощенные аргументы обратно в выражение:

$ = -\frac{\cos(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{2} $.

Применим формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $ к выражению в скобках:

$ \cos(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) = 2 \cos(\frac{(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) + (\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{2}) \cos(\frac{(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) - (\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{2}) $.

$ = 2 \cos(\frac{2\pi/4}{2}) \cos(\frac{8\alpha}{2}) = 2 \cos(\frac{\pi}{4}) \cos(4\alpha) $.

Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, то сумма косинусов равна $ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(4\alpha) = \sqrt{2} \cos(4\alpha) $.

Подставим это значение в наше основное выражение:

$ = -\frac{\sqrt{2} \cos(4\alpha)}{2} = -\frac{\cos 4\alpha}{\sqrt{2}} $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.