Номер 65, страница 410 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

65. Вычислите:

1) $ \arccos \left( \cos \frac{2\pi}{9} \right); $

2) $ \arcsin \left( \cos \frac{\pi}{8} \right). $

1) Для вычисления значения выражения $arccos(cos(\frac{2\pi}{9}))$ используется основное свойство арккосинуса: $arccos(cos(x)) = x$. Это тождество справедливо только при условии, что аргумент $x$ принадлежит области значений функции арккосинус, то есть $x \in [0; \pi]$.

В данном случае $x = \frac{2\pi}{9}$. Проверим, выполняется ли условие $0 \le \frac{2\pi}{9} \le \pi$. Разделив все части неравенства на $\pi$, получим $0 \le \frac{2}{9} \le 1$, что является верным.

Поскольку угол $\frac{2\pi}{9}$ находится в указанном промежутке, мы можем применить тождество напрямую:

$arccos\left(cos\frac{2\pi}{9}\right) = \frac{2\pi}{9}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{9}$.

2) Для вычисления значения выражения $arcsin(cos(\frac{\pi}{8}))$ необходимо преобразовать косинус в синус, чтобы воспользоваться свойством обратных тригонометрических функций. Используем формулу приведения: $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Применим эту формулу:

$cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = sin\left(\frac{4\pi}{8} - \frac{\pi}{8}\right) = sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$arcsin\left(cos\frac{\pi}{8}\right) = arcsin\left(sin\frac{3\pi}{8}\right)$.

Основное свойство арксинуса $arcsin(sin(x)) = x$ справедливо только в том случае, если $x$ принадлежит области значений арксинуса, то есть $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Проверим, принадлежит ли угол $\frac{3\pi}{8}$ этому отрезку. Сравним $\frac{3\pi}{8}$ с границами отрезка: $-\frac{\pi}{2} = -\frac{4\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{8}$. Неравенство $-\frac{4\pi}{8} \le \frac{3\pi}{8} \le \frac{4\pi}{8}$ является верным, следовательно, условие выполняется.

Таким образом, $arcsin\left(sin\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{3\pi}{8}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{8}$.