Номер 58, страница 409 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

58. Упростите выражение $\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}} - \sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}}$, если $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Для упрощения данного выражения приведем дроби под корнями к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $\sqrt{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}$.

$$ \sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}} - \sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}} = \frac{\sqrt{(1+\sin\alpha)^2}}{\sqrt{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}} - \frac{\sqrt{(1-\sin\alpha)^2}}{\sqrt{(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)}} $$

Объединим дроби:

$$ \frac{\sqrt{(1+\sin\alpha)^2} - \sqrt{(1-\sin\alpha)^2}}{\sqrt{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}} $$

Теперь упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Упрощение знаменателя:

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

$$ \sqrt{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)} = \sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{\cos^2\alpha} = |\cos\alpha| $$

Упрощение числителя:

Используем свойство корня $\sqrt{a^2} = |a|$.

$$ \sqrt{(1+\sin\alpha)^2} - \sqrt{(1-\sin\alpha)^2} = |1+\sin\alpha| - |1-\sin\alpha| $$

Анализ знаков выражений под модулем:

По условию задачи, угол $\alpha$ находится в интервале $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, что соответствует II координатной четверти. В этой четверти:

• $\sin\alpha > 0$. Так как синус не превышает 1, то оба выражения $1+\sin\alpha$ и $1-\sin\alpha$ являются положительными. Следовательно, $|1+\sin\alpha| = 1+\sin\alpha$ и $|1-\sin\alpha| = 1-\sin\alpha$.
• $\cos\alpha < 0$. Следовательно, $|\cos\alpha| = -\cos\alpha$.

Подстановка и финальное упрощение:

Подставим раскрытые модули обратно в выражение:

$$ \frac{|1+\sin\alpha| - |1-\sin\alpha|}{|\cos\alpha|} = \frac{(1+\sin\alpha) - (1-\sin\alpha)}{-\cos\alpha} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{1+\sin\alpha - 1 + \sin\alpha}{-\cos\alpha} = \frac{2\sin\alpha}{-\cos\alpha} $$

Так как отношение $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ равно $\tan\alpha$, получаем:

$$ -2 \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -2\tan\alpha $$

Ответ: $-2\tan\alpha$.