Номер 54, страница 409 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

54. Постройте график функции:

1) $y = \sin x + \sin|x|$;

2) $y = \operatorname{tg} x \cos x$.

1)

Рассмотрим функцию $y = \sin x + \sin|x|$.
Для построения графика этой функции необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$
При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = \sin x + \sin x = 2\sin x$.
Таким образом, для всех неотрицательных значений $x$ (справа от оси OY, включая саму ось) график совпадает с графиком функции $y = 2\sin x$. Это синусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси OY. Ее амплитуда равна 2, а период $2\pi$.

Случай 2: $x < 0$
При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = \sin x + \sin(-x)$.
Так как синус является нечетной функцией, $\sin(-x) = -\sin x$. Тогда:
$y = \sin x - \sin x = 0$.
Следовательно, для всех отрицательных значений $x$ (слева от оси OY) график функции представляет собой луч, совпадающий с отрицательной частью оси OX.

Итоговый график:
Объединяя оба случая, получаем график, который при $x < 0$ является прямой $y=0$ (часть оси абсцисс), а при $x \ge 0$ совпадает с графиком функции $y = 2\sin x$. В точке $x=0$ оба участка графика сходятся в значении $y=0$.

Ответ: График функции представляет собой луч $y=0$ для $x < 0$ и график функции $y = 2\sin x$ для $x \ge 0$.

2)

Рассмотрим функцию $y = \operatorname{tg}x \cos x$.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Функция $\operatorname{tg}x$ определена не для всех $x$. Она не определена в точках, где $\cos x = 0$.
$\cos x = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, область определения нашей функции: $x \in \mathbb{R}$, $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Упрощение выражения.
На всей области определения функции можно выполнить преобразование, используя определение тангенса $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x$.

3. Построение графика.
График функции $y = \operatorname{tg}x \cos x$ совпадает с графиком функции $y = \sin x$ во всех точках, кроме тех, которые не входят в область определения. В этих точках на графике будут "выколотые" (пустые) точки.
Найдем координаты этих выколотых точек:
$x_k = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Значения функции $y = \sin x$ в этих точках:
$y_k = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k)$.
Рассмотрим несколько значений $k$:
- при $k=0, x = \frac{\pi}{2}, y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Выколотая точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$.
- при $k=1, x = \frac{3\pi}{2}, y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Выколотая точка $(\frac{3\pi}{2}, -1)$.
- при $k=-1, x = -\frac{\pi}{2}, y = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Выколотая точка $(-\frac{\pi}{2}, -1)$.
В общем виде, координаты выколотых точек $(\frac{\pi}{2} + \pi k, (-1)^k)$. Таким образом, выколотые точки находятся на вершинах и впадинах синусоиды.

Ответ: График функции представляет собой синусоиду $y = \sin x$ с выколотыми точками вида $(\frac{\pi}{2} + \pi k, (-1)^k)$ для всех целых $k$.