Номер 47, страница 409 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения

$2\cos\alpha + 3\sin\alpha - \frac{2\cos^2\alpha}{\cos\alpha}$

Рассмотрим данное выражение: $2\cos\alpha + 3\sin\alpha - \frac{2\cos^2\alpha}{\cos\alpha}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому: $\cos\alpha \neq 0$ Это условие выполняется для всех углов $\alpha$, кроме $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.

Теперь упростим выражение, учитывая ОДЗ. Так как $\cos\alpha \neq 0$, мы можем сократить дробь: $\frac{2\cos^2\alpha}{\cos\alpha} = 2\cos\alpha$

Подставив это в исходное выражение, получим: $2\cos\alpha + 3\sin\alpha - 2\cos\alpha = 3\sin\alpha$

Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $y = 3\sin\alpha$ с ограничением $\cos\alpha \neq 0$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений выражения $3\sin\alpha$ без ограничений — это отрезок $[-3, 3]$.

Проверим, достигаются ли граничные значения с учетом нашего ограничения.

Наибольшее значение $3$ для выражения $3\sin\alpha$ достигалось бы при $\sin\alpha = 1$. Это происходит при $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Однако при этих значениях $\alpha$, $\cos\alpha = 0$, что не входит в ОДЗ. Следовательно, значение $3$ не достигается.

Наименьшее значение $-3$ для выражения $3\sin\alpha$ достигалось бы при $\sin\alpha = -1$. Это происходит при $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. При этих значениях $\alpha$ также $\cos\alpha = 0$, что противоречит ОДЗ. Следовательно, значение $-3$ также не достигается.

Поскольку значения $\sin\alpha=1$ и $\sin\alpha=-1$ исключены, множество значений для $\sin\alpha$ представляет собой интервал $(-1, 1)$. Соответственно, множество значений для всего выражения — это интервал $(-3, 3)$.

В открытом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего элемента. Выражение может принимать значения, сколь угодно близкие к $3$ и к $-3$, но никогда не достигает этих граничных значений.

Ответ: Наибольшего и наименьшего значений у данного выражения не существует.