Номер 41, страница 408 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 + 3x - 2} + \sqrt{x^2 - x + 1} = 4x - 3$;

2) $(\sqrt{x + 1} + 1)(\sqrt{x + 1 + x^2 + x - 7}) = x.$

1) $ \sqrt{x^2 + 3x - 2} + \sqrt{x^2 - x + 1} = 4x - 3 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а также правая часть уравнения, как сумма двух неотрицательных корней, должна быть неотрицательной.

$ \begin{cases} x^2 + 3x - 2 \ge 0 \\ x^2 - x + 1 \ge 0 \\ 4x - 3 \ge 0 \end{cases} $

1. $x^2 + 3x - 2 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 + 3x - 2 = 0$ равны $x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4(-2)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$. Следовательно, $x \in (-\infty, \frac{-3-\sqrt{17}}{2}] \cup [\frac{-3+\sqrt{17}}{2}, +\infty)$.

2. $x^2 - x + 1 \ge 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, парабола направлена вверх и не пересекает ось Ox, значит, выражение $x^2 - x + 1$ всегда положительно.

3. $4x - 3 \ge 0 \implies 4x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{4}$.

Пересекая все условия, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{3}{4}$, так как $\frac{-3+\sqrt{17}}{2} \approx 0.56$, а $\frac{3}{4} = 0.75$.

Заметим, что разность подкоренных выражений равна правой части уравнения:

$(x^2 + 3x - 2) - (x^2 - x + 1) = 4x - 3$.

Пусть $a = \sqrt{x^2 + 3x - 2}$ и $b = \sqrt{x^2 - x + 1}$. Тогда исходное уравнение можно записать в виде системы:

$ \begin{cases} a + b = 4x - 3 \\ a^2 - b^2 = 4x - 3 \end{cases} $

Из второго уравнения: $(a-b)(a+b) = 4x-3$. Подставим в него первое уравнение:

$(a-b)(4x-3) = 4x-3$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $4x-3=0 \implies x=\frac{3}{4}$.

Подставим в исходное уравнение: $\sqrt{(\frac{3}{4})^2+3(\frac{3}{4})-2} + \sqrt{(\frac{3}{4})^2-\frac{3}{4}+1} = \sqrt{\frac{9}{16}+\frac{9}{4}-2} + \sqrt{\frac{9}{16}-\frac{3}{4}+1} = \sqrt{\frac{9+36-32}{16}} + \sqrt{\frac{9-12+16}{16}} = \sqrt{\frac{13}{16}} + \sqrt{\frac{13}{16}} = \frac{2\sqrt{13}}{4} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Правая часть: $4(\frac{3}{4}) - 3 = 0$. Так как $\frac{\sqrt{13}}{2} \ne 0$, $x=\frac{3}{4}$ не является корнем.

Случай 2: $4x-3 \ne 0$.

Тогда можно разделить обе части уравнения $(a-b)(4x-3) = 4x-3$ на $4x-3$, получим $a-b=1$.

Теперь решим систему:

$ \begin{cases} a + b = 4x - 3 \\ a - b = 1 \end{cases} $

Сложив уравнения, получим $2a = 4x - 2$, откуда $a = 2x-1$.

Вернемся к исходной переменной: $\sqrt{x^2 + 3x - 2} = 2x-1$.

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы $2x-1 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$. Это условие не строже, чем ОДЗ $x \ge \frac{3}{4}$.

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 + 3x - 2 = (2x-1)^2$

$x^2 + 3x - 2 = 4x^2 - 4x + 1$

$3x^2 - 7x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение: $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{49-36}}{6} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}$.

Получили два потенциальных корня: $x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$ и $x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6}$.

Проверим их на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{3}{4}$).

1. Для $x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$: так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $x_1 \approx \frac{7+3.6}{6} \approx 1.77$. $1.77 > 0.75$, поэтому корень подходит.

2. Для $x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6}$: $x_2 \approx \frac{7-3.6}{6} \approx 0.567$. $0.567 < 0.75$, поэтому корень не удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$.

2) $ (\sqrt{x + 1} + 1)(\sqrt{x + 1} + x^2 + x - 7) = x $

Найдем ОДЗ: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{x+1}$. Тогда $y \ge 0$ и $y^2 = x+1$, откуда $x = y^2-1$.

Выразим $x^2+x-7$ через $y$:

$x^2+x-7 = (y^2-1)^2 + (y^2-1) - 7 = (y^4 - 2y^2 + 1) + y^2 - 1 - 7 = y^4 - y^2 - 7$.

Подставим все в исходное уравнение:

$(y+1)(y + y^4 - y^2 - 7) = y^2 - 1$

Разложим правую часть по формуле разности квадратов: $y^2-1 = (y-1)(y+1)$.

$(y+1)(y^4 - y^2 + y - 7) = (y-1)(y+1)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(y+1)$:

$(y+1)(y^4 - y^2 + y - 7 - (y-1)) = 0$

$(y+1)(y^4 - y^2 - 6) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $y+1 = 0 \implies y = -1$. Это не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому решений в этом случае нет.

2. $y^4 - y^2 - 6 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: $z = y^2$. Так как $y \ge 0$, то $z \ge 0$.

$z^2 - z - 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $z_1 = 3$ и $z_2 = -2$.

Корень $z_2 = -2$ не удовлетворяет условию $z \ge 0$.

Остается $z=3$.

Выполним обратную замену:

$y^2 = 3$. Так как $y \ge 0$, то $y = \sqrt{3}$.

Теперь вернемся к переменной $x$:

$\sqrt{x+1} = \sqrt{3}$

Возведем обе части в квадрат:

$x+1 = 3$

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=2$ ОДЗ: $2 \ge -1$. Удовлетворяет.

Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$(\sqrt{2+1}+1)(\sqrt{2+1}+2^2+2-7) = (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+4+2-7) = (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3-1=2$.

Правая часть равна $x=2$.

$2=2$. Равенство верное.

Ответ: $x = 2$.