Номер 37, страница 408 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+1} = 2;$

2) $\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} = 1.$

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+1} = 2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения, стоящие под знаком корня, должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -1 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x \ge -1/3$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы упростить возведение в квадрат:

$\sqrt{3x+1} = 2 + \sqrt{x+1}$

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней из-за этого действия:

$(\sqrt{3x+1})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2$

$3x+1 = 4 + 4\sqrt{x+1} + (x+1)$

Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся корень:

$3x+1 = 5+x+4\sqrt{x+1}$

$3x - x - 5 + 1 = 4\sqrt{x+1}$

$2x-4 = 4\sqrt{x+1}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x-2 = 2\sqrt{x+1}$

Прежде чем снова возводить в квадрат, заметим, что правая часть $2\sqrt{x+1}$ всегда неотрицательна. Следовательно, и левая часть должна быть неотрицательной. Это дает нам дополнительное условие:

$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Это условие ($x \ge 2$) является более строгим, чем первоначальное ОДЗ ($x \ge -1/3$), поэтому все найденные решения должны ему удовлетворять.

Теперь возведем обе части уравнения $x-2 = 2\sqrt{x+1}$ в квадрат:

$(x-2)^2 = (2\sqrt{x+1})^2$

$x^2 - 4x + 4 = 4(x+1)$

$x^2 - 4x + 4 = 4x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:

$x(x-8) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1=0$ и $x_2=8$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x \ge 2$:

1. $x_1=0$ не удовлетворяет условию $0 \ge 2$, следовательно, это посторонний корень.

2. $x_2=8$ удовлетворяет условию $8 \ge 2$.

Для полной уверенности выполним проверку подстановкой $x=8$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3 \cdot 8 + 1} - \sqrt{8+1} = \sqrt{24+1} - \sqrt{9} = \sqrt{25} - 3 = 5 - 3 = 2$.

$2 = 2$. Равенство верное, значит, $x=8$ является решением.

Ответ: 8

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которых оба подкоренных выражения неотрицательны:

$\begin{cases} 1-x \ge 0 \\ 1+x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1; 1]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. Так как обе части уравнения неотрицательны (сумма двух неотрицательных корней равна положительному числу), это равносильное преобразование на ОДЗ.

$(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})^2 = 1^2$

$(1-x) + 2\sqrt{(1-x)(1+x)} + (1+x) = 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2 + 2\sqrt{1-x^2} = 1$

Теперь уединим корень:

$2\sqrt{1-x^2} = 1 - 2$

$2\sqrt{1-x^2} = -1$

$\sqrt{1-x^2} = -\frac{1}{2}$

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) является неотрицательной величиной, то есть $\sqrt{1-x^2} \ge 0$ для любого $x$ из ОДЗ. Мы получили, что неотрицательное число равно отрицательному числу ($-1/2$). Такое равенство невозможно.

Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней