Номер 31, страница 407 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31. Найдите значение выражения $\frac{\sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{6}} \cdot \sqrt[6]{9 - 6\sqrt{2} - \sqrt[6]{18}}}{\sqrt[6]{2} - 1}$

Для нахождения значения выражения выполним следующие преобразования. В исходном выражении $ \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{6}} \cdot \sqrt[6]{9-6\sqrt{2}-\sqrt[6]{18}}}{\sqrt[6]{2}-1} $, скорее всего, допущена опечатка, так как наличие корня $ \sqrt[6]{18} $ под знаком другого корня делает выражение крайне сложным. Наиболее вероятной является следующая форма выражения, которую мы и будем решать:

$ \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{6}} \cdot \sqrt[6]{9-6\sqrt{2}} - \sqrt[6]{18}}{\sqrt[6]{2}-1} $

Упростим числитель выражения по частям. Сначала преобразуем второй множитель в числителе.

Подкоренное выражение $ 9-6\sqrt{2} $ можно представить в виде полного квадрата, используя формулу $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $. Для этого представим $ 6\sqrt{2} $ как $ 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2\sqrt{18} $.

$ 9-6\sqrt{2} = 9-2\sqrt{18} $. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 9, а произведение равно 18. Эти числа — 6 и 3. Таким образом, $ 9-2\sqrt{18} = (\sqrt{6}-\sqrt{3})^2 $.

Следовательно, второй множитель равен:

$ \sqrt[6]{9-6\sqrt{2}} = \sqrt[6]{(\sqrt{6}-\sqrt{3})^2} = (\sqrt{6}-\sqrt{3})^{2/6} = (\sqrt{6}-\sqrt{3})^{1/3} = \sqrt[3]{\sqrt{6}-\sqrt{3}} $.

Теперь найдем произведение первых двух членов в числителе:

$ \sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{6}} \cdot \sqrt[6]{9-6\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{6}+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{6}-\sqrt{3}} $.

Используя свойство $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $, получаем:

$ \sqrt[3]{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{3})} = \sqrt[3]{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt[3]{6-3} = \sqrt[3]{3} $.

После этого числитель принимает вид $ \sqrt[3]{3} - \sqrt[6]{18} $.

Чтобы выполнить вычитание, приведем корни к одинаковому показателю 6:

$ \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9} $.

Таким образом, числитель равен $ \sqrt[6]{9} - \sqrt[6]{18} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt[6]{9} $ за скобки:

$ \sqrt[6]{9}(1 - \sqrt[6]{\frac{18}{9}}) = \sqrt[6]{9}(1-\sqrt[6]{2}) $.

Теперь подставим полученное выражение для числителя в исходную дробь:

$ \frac{\sqrt[6]{9}(1-\sqrt[6]{2})}{\sqrt[6]{2}-1} = \frac{-\sqrt[6]{9}(\sqrt[6]{2}-1)}{\sqrt[6]{2}-1} $.

Сокращаем дробь на $ (\sqrt[6]{2}-1) $ и получаем $ -\sqrt[6]{9} $.

Упростим результат:

$ -\sqrt[6]{9} = -\sqrt[6]{3^2} = -3^{2/6} = -3^{1/3} = -\sqrt[3]{3} $.

Ответ: $ -\sqrt[3]{3} $.