Номер 26, страница 407 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26. Постройте график функции:

1) $y = (x - 1)^{-3}$;

2) $y = |x^{-3}|$;

3) $y = |x - 1|^{-3}$.

1) $y = (x - 1)^{-3}$;
Данная функция может быть записана в виде $y = \frac{1}{(x - 1)^3}$.
Для построения ее графика воспользуемся методом преобразования графиков. Исходной функцией является $y = x^{-3}$ или $y = \frac{1}{x^3}$.
1. Построим график базовой функции $y = \frac{1}{x^3}$. Это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Она имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ и горизонтальную асимптоту $y = 0$. Функция нечетная, симметрична относительно начала координат. Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, -1)$, $(2, 1/8)$, $(-2, -1/8)$.
2. График функции $y = (x - 1)^{-3}$ получается из графика $y = x^{-3}$ путем сдвига (параллельного переноса) вправо вдоль оси Ox на 1 единицу.
В результате этого преобразования:
- Вертикальная асимптота смещается вправо на 1 и становится $x = 1$.
- Горизонтальная асимптота $y = 0$ остается на месте.
- Все точки графика смещаются на 1 вправо. Например, точка $(1, 1)$ переходит в точку $(2, 1)$, а точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(0, -1)$.
Ответ: График функции $y = x^{-3}$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Вертикальная асимптота $x=1$, горизонтальная асимптота $y=0$.

2) $y = |x^{-3}|$;
Данная функция может быть записана в виде $y = \left|\frac{1}{x^3}\right|$.
Для построения этого графика также начнем с базовой функции $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.
1. График функции $y = x^{-3}$ расположен в I и III четвертях.
2. Преобразование $y = |f(x)|$ означает, что вся часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), должна быть симметрично отражена относительно оси Ox, а часть графика, которая находится выше или на оси Ox (где $y \ge 0$), остается без изменений.
- Часть графика $y = x^{-3}$ в I четверти (где $x > 0$ и $y > 0$) остается на своем месте.
- Часть графика в III четверти (где $x < 0$ и $y < 0$) симметрично отражается относительно оси Ox и теперь будет располагаться во II четверти.
В результате обе ветви графика будут находиться в верхней полуплоскости (I и II четверти). Асимптоты остаются прежними: $x=0$ и $y=0$. Функция является четной, так как $y(-x) = |(-x)^{-3}| = |-x^{-3}| = |x^{-3}| = y(x)$.
Ответ: График функции $y = x^{-3}$, у которого часть, лежащая в III четверти, симметрично отражена относительно оси Ox во II четверть. Обе ветви графика находятся в верхней полуплоскости.

3) $y = |x - 1|^{-3}$.
Данная функция может быть записана в виде $y = \frac{1}{|x - 1|^3}$.
Для построения этого графика можно использовать результаты предыдущих пунктов. Заметим, что $|x - 1|^{-3} = |(x - 1)^{-3}|$. Это означает, что мы можем построить график функции из пункта 1, а затем применить к нему преобразование модуля, как в пункте 2.
1. Берем график функции $y = (x - 1)^{-3}$ из пункта 1. Этот график имеет ветви в областях, аналогичных I и III четвертям, но смещенных на 1 вправо. Вертикальная асимптота $x = 1$. Часть графика при $x > 1$ находится выше оси Ox, а часть при $x < 1$ — ниже.
2. Применяем преобразование $y = |f(x)|$: часть графика, лежащую ниже оси Ox (то есть, при $x < 1$), симметрично отражаем относительно оси Ox.
- Ветвь графика при $x > 1$ остается на месте.
- Ветвь графика при $x < 1$ отражается вверх.
В итоге обе ветви графика будут находиться в верхней полуплоскости, симметрично относительно вертикальной асимптоты $x=1$.
Альтернативный способ: взять график из пункта 2 ($y = |x^{-3}|$) и сдвинуть его на 1 единицу вправо.
Ответ: График функции $y = (x-1)^{-3}$, у которого часть, лежащая ниже оси Ox (при $x < 1$), симметрично отражена относительно оси Ox. Обе ветви графика находятся в верхней полуплоскости и имеют вертикальную асимптоту $x=1$.