Номер 19, страница 406 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19. Решите неравенство:

1) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \ge 0;$

2) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} < 0.$

1) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \ge 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$14 + 5x - x^2 \ge 0$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства:

$x^2 - 5x - 14 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 9}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7$.

График функции $y = x^2 - 5x - 14$ — это парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 5x - 14 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

ОДЗ: $x \in [-2, 7]$.

Теперь решим исходное неравенство на этой области. Произведение неотрицательно, если:

а) Оно равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю:

$\sqrt{14 + 5x - x^2} = 0$, что равносильно $14 + 5x - x^2 = 0$. Корни этого уравнения $x = -2$ и $x = 7$.

Или $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$.

Все эти три значения ($x = -2$, $x = 3$, $x = 7$) входят в ОДЗ и являются решениями неравенства.

б) Оно строго больше нуля. Так как $\sqrt{14 + 5x - x^2}$ на ОДЗ всегда неотрицателен, для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы оба множителя были положительны:

$\begin{cases} \sqrt{14 + 5x - x^2} > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases}$

Первое неравенство $14 + 5x - x^2 > 0$ выполняется для $x \in (-2, 7)$.

Второе неравенство $x - 3 > 0$ выполняется для $x > 3$.

Пересечение этих двух условий дает интервал $x \in (3, 7)$.

Объединяя все найденные решения из пунктов а) и б), получаем: $\{-2, 7\} \cup \{3\} \cup (3, 7) = \{-2\} \cup [3, 7]$.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [3, 7]$.

2) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} < 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) та же, что и в первом пункте: $x \in [-2, 7]$.

Неравенство является строгим, поэтому произведение не может быть равно нулю. Это значит, что $x \neq -2$, $x \neq 7$ и $x \neq 3$.

Выражение $\sqrt{14 + 5x - x^2}$ на своей области определения неотрицательно. Чтобы произведение было отрицательным, это выражение должно быть строго положительным, а второй множитель $(x - 3)$ — строго отрицательным.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} \sqrt{14 + 5x - x^2} > 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

1. $\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0$ равносильно $14 + 5x - x^2 > 0$, что выполняется на интервале $x \in (-2, 7)$.

2. $x - 3 < 0$ равносильно $x < 3$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств решений: $x \in (-2, 7)$ и $x < 3$.

Пересечением является интервал $(-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.