Номер 13, страница 405 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13. Сколько корней имеет уравнение $|(x + 1)^2 - 1| = a$ в зависимости от значения параметра $a$?

Для определения количества корней уравнения $|(x+1)^2 - 1| = a$ в зависимости от параметра $a$, рассмотрим несколько случаев, основываясь на значении $a$.

Левая часть уравнения $|(x+1)^2 - 1|$ представляет собой абсолютную величину, поэтому она всегда неотрицательна, то есть $|(x+1)^2 - 1| \ge 0$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело действительные корни, правая часть $a$ также должна быть неотрицательной ($a \ge 0$).

В этом случае левая часть уравнения неотрицательна, а правая часть отрицательна. Равенство невозможно, поэтому уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: 0 корней.

Уравнение принимает вид $|(x+1)^2 - 1| = 0$, что равносильно $(x+1)^2 - 1 = 0$.

Решаем это уравнение:
$(x+1)^2 = 1$
$x+1 = \pm 1$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1 - 1 = 0$ и $x_2 = -1 - 1 = -2$.

Ответ: 2 корня.

Уравнение $|(x+1)^2 - 1| = a$ равносильно совокупности двух уравнений:

1) $(x+1)^2 - 1 = a \implies (x+1)^2 = a + 1$

2) $(x+1)^2 - 1 = -a \implies (x+1)^2 = 1 - a$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно. Уравнение 1), $(x+1)^2 = a + 1$, при $a > 0$ всегда имеет два различных действительных корня: $x = -1 \pm \sqrt{a+1}$. Количество корней исходного уравнения будет зависеть от количества корней уравнения 2), $(x+1)^2 = 1 - a$, которое, в свою очередь, зависит от знака выражения $1-a$. Это приводит нас к рассмотрению трех подслучаев.

В этом случае выражение $1-a$ положительно ($0 < 1-a < 1$). Уравнение $(x+1)^2 = 1-a$ имеет два различных действительных корня: $x = -1 \pm \sqrt{1-a}$. Так как первое уравнение также имеет два корня, и все четыре корня различны ($\sqrt{1-a} \neq \sqrt{a+1}$ при $a \neq 0$), общее количество корней равно $2+2=4$.

Ответ: 4 корня.

Первое уравнение $(x+1)^2 = 1+1 = 2$ дает два корня: $x = -1 \pm \sqrt{2}$. Второе уравнение $(x+1)^2 = 1-1 = 0$ дает один корень: $x = -1$. Всего получаем три различных корня.

Ответ: 3 корня.

Первое уравнение $(x+1)^2 = a+1$ имеет два различных корня: $x = -1 \pm \sqrt{a+1}$. Во втором уравнении $(x+1)^2 = 1-a$ правая часть $1-a$ отрицательна. Следовательно, второе уравнение не имеет действительных корней. Общее количество корней равно 2.

Ответ: 2 корня.