Номер 10, страница 405 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{(x-1)^2(x-2)};$

2) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2(x+2)}};$

3) $y = \frac{1}{\sqrt{3-|x|}} + \frac{1}{x-2};$

4) $y = \sqrt{|x+5|(x+2)}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt{(x-1)^2(x-2)}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$(x-1)^2(x-2) \ge 0$.
Множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен для любого действительного значения $x$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x=1$, то выражение равно $(1-1)^2(1-2) = 0 \cdot (-1) = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполняется, следовательно, $x=1$ входит в область определения.
2. Если $x \neq 1$, то $(x-1)^2 > 0$. В этом случае неравенство сводится к $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.
Объединяя полученные результаты, получаем, что область определения функции состоит из точки $x=1$ и промежутка $[2, +\infty)$.
Ответ: $x \in \{1\} \cup [2, +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2(x+2)}}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня в знаменателе должно быть строго положительным:
$x^2(x+2) > 0$.
Множитель $x^2$ положителен при всех $x$, кроме $x=0$. Чтобы произведение было строго положительным, необходимо, чтобы оба множителя были положительны и $x^2 \neq 0$.
Это равносильно системе неравенств:
$\begin{cases} x^2 > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $x \neq 0$.
Из второго неравенства получаем $x > -2$.
Совмещая оба условия, находим, что $x$ должен быть больше $-2$ и не равен нулю.
Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (0, +\infty)$.

3) Функция $y = \frac{1}{\sqrt{3-|x|}} + \frac{1}{x-2}$ представляет собой сумму двух дробей. Ее область определения является пересечением областей определения каждого из слагаемых.
1. Для первого слагаемого $\frac{1}{\sqrt{3-|x|}}$ выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$3 - |x| > 0 \implies |x| < 3$.
Это неравенство эквивалентно $-3 < x < 3$.
2. Для второго слагаемого $\frac{1}{x-2}$ знаменатель не должен равняться нулю:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Область определения исходной функции — это все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно, то есть $x$ принадлежит интервалу $(-3, 3)$ и при этом не равен 2.
Ответ: $x \in (-3, 2) \cup (2, 3)$.

4) Область определения функции $y = \sqrt{|x+5|(x+2)}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$|x+5|(x+2) \ge 0$.
Множитель $|x+5|$ всегда неотрицателен для любого действительного значения $x$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x=-5$, то выражение равно $|-5+5|(-5+2) = 0 \cdot (-3) = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполняется, следовательно, $x=-5$ входит в область определения.
2. Если $x \neq -5$, то $|x+5| > 0$. В этом случае неравенство сводится к $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.
Объединяя полученные результаты, получаем, что область определения функции состоит из точки $x=-5$ и промежутка $[-2, +\infty)$.
Ответ: $x \in \{-5\} \cup [-2, +\infty)$.