Номер 7, страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7. Найдите нули функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - 1};$

2) $y = \frac{x^2 + x - 6}{x + 3};$

3) $y = x^3 - 4x;$

4) $y = x^2 + 1.$

1) Чтобы найти нули функции $y = \sqrt{x^2 - 1}$, нужно приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Приравниваем функцию к нулю:

$\sqrt{x^2 - 1} = 0$

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x^2 - 1})^2 = 0^2$

$x^2 - 1 = 0$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим, входят ли эти значения в ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 1 \ge 0$

$x^2 \ge 1$

Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Оба найденных корня ($1$ и $-1$) принадлежат области допустимых значений, следовательно, они являются нулями функции.

Ответ: $-1; 1$.

2) Для нахождения нулей функции $y = \frac{x^2 + x - 6}{x + 3}$ необходимо приравнять её к нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} x^2 + x - 6 = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases}$

Сначала решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$.

Теперь проверим второе условие: $x + 3 \neq 0$, что означает $x \neq -3$.

Корень $x_1 = -3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он не является нулём функции (в этой точке функция не определена).

Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 + 3 = 5 \neq 0$.

Таким образом, у функции есть только один нуль.

Ответ: $2$.

3) Найдём нули функции $y = x^3 - 4x$. Для этого приравняем функцию к нулю:

$x^3 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1. $x = 0$

2. $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_2 = 2$ и $x_3 = -2$.

Область определения данной функции — все действительные числа, поэтому все три найденных значения являются нулями функции.

Ответ: $-2; 0; 2$.

4) Чтобы найти нули функции $y = x^2 + 1$, приравняем её к нулю:

$x^2 + 1 = 0$

Перенесём 1 в правую часть уравнения:

$x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$). Поэтому данное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс, и у функции нет нулей.

Ответ: нулей нет.