Номер 3, страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. На языке «необходимо и достаточно» опишите принадлежность элемента $x$ множествам $A$, $B$ и $C$ (рис. 1).

а

Принадлежность элемента $x$ множеству $B$ является необходимым и достаточным условием для того, чтобы $x$ принадлежал множеству $A$ и множеству $B$.

$x \in B \iff (x \in A \land x \in B)$

б

Принадлежность элемента $x$ множеству $C$ является необходимым и достаточным условием для того, чтобы $x$ принадлежал множеству $A$ и множеству $B$.

$x \in C \iff (x \in A \land x \in B)$

в

Принадлежность элемента $x$ множеству $C$ является необходимым и достаточным условием для того, чтобы $x$ принадлежал множеству $A$, принадлежал множеству $C$ и не принадлежал множеству $B$.

$x \in C \iff (x \in A \land x \in C \land x \notin B)$

Принадлежность элемента $x$ множеству $B$ является необходимым и достаточным условием для того, чтобы $x$ принадлежал множеству $A$, принадлежал множеству $B$ и не принадлежал множеству $C$.

$x \in B \iff (x \in A \land x \in B \land x \notin C)$

Рис. 1

а

На рисунке а множество $B$ является подмножеством множества $A$ ($B \subset A$), то есть целиком содержится в нём. Это означает, что любой элемент множества $B$ также является и элементом множества $A$. Исходя из этого, можно сделать два вывода:
1. Принадлежность элемента $x$ множеству $B$ является достаточным условием для его принадлежности множеству $A$. Другими словами, если $x \in B$, то этого достаточно, чтобы утверждать, что $x \in A$.
2. Принадлежность элемента $x$ множеству $A$ является необходимым условием для его принадлежности множеству $B$. То есть, если элемент $x$ не принадлежит множеству $A$, он не может принадлежать и множеству $B$ ($x \notin A \implies x \notin B$).
Ответ: Для принадлежности элемента $x$ множеству $A$ достаточно его принадлежности множеству $B$. Для принадлежности элемента $x$ множеству $B$ необходимо его принадлежность множеству $A$.

б

На рисунке б множество $C$ является пересечением множеств $A$ и $B$ ($C = A \cap B$). Это означает, что $C$ состоит из элементов, которые принадлежат одновременно множествам $A$ и $B$.
Следовательно, для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству $C$, необходимо и достаточно, чтобы он принадлежал обоим множествам $A$ и $B$. Условие ($x \in A$ и $x \in B$) является одновременно и необходимым (без него $x$ не попадёт в $C$), и достаточным (его выполнения достаточно, чтобы $x$ оказался в $C$).
Это отношение выражается формулой эквивалентности: $(x \in C) \iff (x \in A \land x \in B)$.
Ответ: Для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству $C$, необходимо и достаточно, чтобы он принадлежал одновременно множествам $A$ и $B$.

в

На рисунке в множество $A$ представляет собой объединение двух непересекающихся множеств $B$ и $C$ ($A = B \cup C$ и $B \cap C = \emptyset$). Это значит, что $A$ состоит из всех элементов, принадлежащих либо $B$, либо $C$.
Поэтому для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству $A$, необходимо и достаточно, чтобы он принадлежал или множеству $B$, или множеству $C$. Если $x$ принадлежит $B$ или $C$, этого достаточно для его принадлежности $A$. Если же $x$ принадлежит $A$, то он необходимо принадлежит либо $B$, либо $C$.
Это отношение выражается формулой эквивалентности: $(x \in A) \iff (x \in B \lor x \in C)$.
Ответ: Для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству $A$, необходимо и достаточно, чтобы он принадлежал множеству $B$ или множеству $C$.