Номер 8, страница 405 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = x^2 - 2x + 1$;

2) $y = \frac{9}{3-x}$.

1) $y = x^2 - 2x + 1$

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции необходимо определить, при каких значениях аргумента $x$ функция принимает положительные, отрицательные значения или равна нулю.

1. Область определения функции.

Данная функция является квадратичной (многочлен), поэтому она определена для всех действительных чисел $x$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нули функции.

Найдем значения $x$, при которых $y = 0$. Для этого решим уравнение:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x - 1)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень $x = 1$.

3. Промежутки знакопостоянства.

Нуль функции $x=1$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 1)$ и $(1; \infty)$. Определим знак функции на каждом из этих промежутков.

Выражение $(x-1)^2$ является квадратом числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $y \ge 0$ для любого значения $x$.

• Если $x=1$, то $y = (1-1)^2 = 0$.
• Если $x \neq 1$ (то есть для $x \in (-\infty; 1)$ или $x \in (1; \infty)$), то $(x-1)^2 > 0$, следовательно, $y > 0$.

Таким образом, функция положительна на всей области определения, кроме точки $x=1$, где она равна нулю. Промежутков, где функция отрицательна, не существует.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

2) $y = \frac{9}{3 - x}$

1. Область определения функции.

Данная функция — дробно-рациональная. Ее область определения — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$3 - x \neq 0 \implies x \neq 3$

Область определения $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; \infty)$.

2. Нули функции.

Найдем значения $x$, при которых $y = 0$:

$\frac{9}{3 - x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 9, что не является нулем. Следовательно, функция не имеет нулей.

3. Промежутки знакопостоянства.

Знак функции на ее области определения зависит только от знака знаменателя $(3-x)$, так как числитель 9 всегда положителен. Точка $x=3$ (корень знаменателя) делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 3)$ и $(3; \infty)$. Определим знак функции на каждом из них методом интервалов.

• Рассмотрим промежуток $(-\infty; 3)$. Выберем любую точку из этого интервала, например, $x=0$.
  $y(0) = \frac{9}{3-0} = \frac{9}{3} = 3$.
  Так как $y(0) > 0$, то функция положительна на всем промежутке $(-\infty; 3)$.
• Рассмотрим промежуток $(3; \infty)$. Выберем любую точку из этого интервала, например, $x=4$.
  $y(4) = \frac{9}{3-4} = \frac{9}{-1} = -9$.
  Так как $y(4) < 0$, то функция отрицательна на всем промежутке $(3; \infty)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 3)$; $y < 0$ при $x \in (3; \infty)$.