Страница 405 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = x^2 - 2x + 1$;

2) $y = \frac{9}{3-x}$.

1) $y = x^2 - 2x + 1$

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции необходимо определить, при каких значениях аргумента $x$ функция принимает положительные, отрицательные значения или равна нулю.

1. Область определения функции.

Данная функция является квадратичной (многочлен), поэтому она определена для всех действительных чисел $x$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нули функции.

Найдем значения $x$, при которых $y = 0$. Для этого решим уравнение:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x - 1)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень $x = 1$.

3. Промежутки знакопостоянства.

Нуль функции $x=1$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 1)$ и $(1; \infty)$. Определим знак функции на каждом из этих промежутков.

Выражение $(x-1)^2$ является квадратом числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $y \ge 0$ для любого значения $x$.

• Если $x=1$, то $y = (1-1)^2 = 0$.
• Если $x \neq 1$ (то есть для $x \in (-\infty; 1)$ или $x \in (1; \infty)$), то $(x-1)^2 > 0$, следовательно, $y > 0$.

Таким образом, функция положительна на всей области определения, кроме точки $x=1$, где она равна нулю. Промежутков, где функция отрицательна, не существует.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

2) $y = \frac{9}{3 - x}$

1. Область определения функции.

Данная функция — дробно-рациональная. Ее область определения — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$3 - x \neq 0 \implies x \neq 3$

Область определения $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; \infty)$.

2. Нули функции.

Найдем значения $x$, при которых $y = 0$:

$\frac{9}{3 - x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 9, что не является нулем. Следовательно, функция не имеет нулей.

3. Промежутки знакопостоянства.

Знак функции на ее области определения зависит только от знака знаменателя $(3-x)$, так как числитель 9 всегда положителен. Точка $x=3$ (корень знаменателя) делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 3)$ и $(3; \infty)$. Определим знак функции на каждом из них методом интервалов.

• Рассмотрим промежуток $(-\infty; 3)$. Выберем любую точку из этого интервала, например, $x=0$.
  $y(0) = \frac{9}{3-0} = \frac{9}{3} = 3$.
  Так как $y(0) > 0$, то функция положительна на всем промежутке $(-\infty; 3)$.
• Рассмотрим промежуток $(3; \infty)$. Выберем любую точку из этого интервала, например, $x=4$.
  $y(4) = \frac{9}{3-4} = \frac{9}{-1} = -9$.
  Так как $y(4) < 0$, то функция отрицательна на всем промежутке $(3; \infty)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 3)$; $y < 0$ при $x \in (3; \infty)$.

9. Исследуйте функцию на чётность:

1) $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x};$

2) $f(x) = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1};$

3) $f(x) = \frac{1}{(3x - 1)^7} + \frac{1}{(3x + 1)^7}.$

Для исследования функции $f(x)$ на чётность необходимо выполнить два шага:

1. Проверить, является ли область определения функции $D(f)$ симметричной относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Найти значение $f(-x)$ и сравнить его с $f(x)$.
   • Если $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
   • Если $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
   • Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

1) $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x}$

Сначала найдём область определения функции. Выражения под корнем должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 4 - x \ge 0 \\ 4 + x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -4 \end{cases}$
Таким образом, область определения $D(f) = [-4; 4]$. Этот промежуток симметричен относительно начала координат.

Теперь найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{4 - (-x)} + \sqrt{4 + (-x)} = \sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x}$.
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $f(-x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x} = f(x)$.
Поскольку оба условия выполнены (симметричная область определения и $f(-x) = f(x)$), функция является чётной.
Ответ: чётная функция.

2) $f(x) = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1}$

Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{|5(-x) - 2| + |5(-x) + 2|}{(-x)^2 - 1} = \frac{|-5x - 2| + |-5x + 2|}{x^2 - 1}$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:
$|-5x - 2| = |-(5x + 2)| = |5x + 2|$
$|-5x + 2| = |-(5x - 2)| = |5x - 2|$
Подставим обратно в выражение для $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{|5x + 2| + |5x - 2|}{x^2 - 1} = f(x)$.
Функция является чётной.
Ответ: чётная функция.

3) $f(x) = \frac{1}{(3x - 1)^7} + \frac{1}{(3x + 1)^7}$

Найдём область определения. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$3x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3}$
$3x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{3}$
Область определения $D(f) = (-\infty; -1/3) \cup (-1/3; 1/3) \cup (1/3; \infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{1}{(3(-x) - 1)^7} + \frac{1}{(3(-x) + 1)^7} = \frac{1}{(-3x - 1)^7} + \frac{1}{(-3x + 1)^7}$.
Так как степень нечётная (7), то $(-a)^7 = -a^7$:
$(-3x - 1)^7 = (-(3x + 1))^7 = -(3x + 1)^7$
$(-3x + 1)^7 = (-(3x - 1))^7 = -(3x - 1)^7$
Подставим обратно:
$f(-x) = \frac{1}{-(3x + 1)^7} + \frac{1}{-(3x - 1)^7} = -\frac{1}{(3x + 1)^7} - \frac{1}{(3x - 1)^7} = - \left( \frac{1}{(3x - 1)^7} + \frac{1}{(3x + 1)^7} \right) = -f(x)$.
Функция является нечётной.
Ответ: нечётная функция.

10. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{(x-1)^2(x-2)};$

2) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2(x+2)}};$

3) $y = \frac{1}{\sqrt{3-|x|}} + \frac{1}{x-2};$

4) $y = \sqrt{|x+5|(x+2)}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt{(x-1)^2(x-2)}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$(x-1)^2(x-2) \ge 0$.
Множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен для любого действительного значения $x$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x=1$, то выражение равно $(1-1)^2(1-2) = 0 \cdot (-1) = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполняется, следовательно, $x=1$ входит в область определения.
2. Если $x \neq 1$, то $(x-1)^2 > 0$. В этом случае неравенство сводится к $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.
Объединяя полученные результаты, получаем, что область определения функции состоит из точки $x=1$ и промежутка $[2, +\infty)$.
Ответ: $x \in \{1\} \cup [2, +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2(x+2)}}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня в знаменателе должно быть строго положительным:
$x^2(x+2) > 0$.
Множитель $x^2$ положителен при всех $x$, кроме $x=0$. Чтобы произведение было строго положительным, необходимо, чтобы оба множителя были положительны и $x^2 \neq 0$.
Это равносильно системе неравенств:
$\begin{cases} x^2 > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $x \neq 0$.
Из второго неравенства получаем $x > -2$.
Совмещая оба условия, находим, что $x$ должен быть больше $-2$ и не равен нулю.
Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (0, +\infty)$.

3) Функция $y = \frac{1}{\sqrt{3-|x|}} + \frac{1}{x-2}$ представляет собой сумму двух дробей. Ее область определения является пересечением областей определения каждого из слагаемых.
1. Для первого слагаемого $\frac{1}{\sqrt{3-|x|}}$ выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$3 - |x| > 0 \implies |x| < 3$.
Это неравенство эквивалентно $-3 < x < 3$.
2. Для второго слагаемого $\frac{1}{x-2}$ знаменатель не должен равняться нулю:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Область определения исходной функции — это все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно, то есть $x$ принадлежит интервалу $(-3, 3)$ и при этом не равен 2.
Ответ: $x \in (-3, 2) \cup (2, 3)$.

4) Область определения функции $y = \sqrt{|x+5|(x+2)}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$|x+5|(x+2) \ge 0$.
Множитель $|x+5|$ всегда неотрицателен для любого действительного значения $x$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x=-5$, то выражение равно $|-5+5|(-5+2) = 0 \cdot (-3) = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполняется, следовательно, $x=-5$ входит в область определения.
2. Если $x \neq -5$, то $|x+5| > 0$. В этом случае неравенство сводится к $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.
Объединяя полученные результаты, получаем, что область определения функции состоит из точки $x=-5$ и промежутка $[-2, +\infty)$.
Ответ: $x \in \{-5\} \cup [-2, +\infty)$.

11. Найдите область значений функции:

1) $y = 3x^2 - 2x + 1$;

2) $y = x + \frac{9}{x}$;

3) $y = -3x^2 - x - 2$;

4) $y = \frac{2x}{x^2 - 4}$.

1) $y = 3x^2 - 2x + 1$
Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше нуля ($a=3>0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Область значений такой функции — это множество всех чисел от ординаты вершины параболы до $+\infty$.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае $a=3$, $b=-2$.
$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ордината вершины $y_0$ является минимальным значением функции. Найдем его, подставив $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = y(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) + 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
Таким образом, минимальное значение функции равно $\frac{2}{3}$.
Область значений функции: $[\frac{2}{3}; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = [\frac{2}{3}; +\infty)$.

2) $y = x + \frac{9}{x}$
Для нахождения области значений исследуем функцию с помощью производной. Область определения функции $D(y): x \neq 0$.
Найдем производную функции:
$y' = (x + \frac{9}{x})' = 1 - \frac{9}{x^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$1 - \frac{9}{x^2} = 0 \implies \frac{x^2 - 9}{x^2} = 0 \implies x^2 = 9 \implies x_1 = -3, x_2 = 3$.
Это точки экстремумов. Найдем значения функции в этих точках:
При $x = 3$: $y(3) = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6$.
При $x = -3$: $y(-3) = -3 + \frac{9}{-3} = -3 - 3 = -6$.
Исследуем поведение функции на бесконечности и вблизи точки разрыва $x=0$:
$\lim_{x \to 0^+} (x + \frac{9}{x}) = +\infty$
$\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{9}{x}) = -\infty$
$\lim_{x \to +\infty} (x + \frac{9}{x}) = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} (x + \frac{9}{x}) = -\infty$
Точка $x=3$ является точкой локального минимума, а значение $y=6$ — локальным минимумом. Для $x > 0$ область значений будет $[6; +\infty)$.
Точка $x=-3$ является точкой локального максимума, а значение $y=-6$ — локальным максимумом. Для $x < 0$ область значений будет $(-\infty; -6]$.
Объединяя эти два интервала, получаем область значений всей функции: $(-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$.

3) $y = -3x^2 - x - 2$
Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -3, что меньше нуля ($a=-3<0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз. Область значений такой функции — это множество всех чисел от $-\infty$ до ординаты вершины параболы.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Здесь $a=-3$, $b=-1$.
$x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot (-3)} = -\frac{1}{6}$.
Ордината вершины $y_0$ является максимальным значением функции. Найдем его, подставив $x_0$ в уравнение:
$y_0 = y(-\frac{1}{6}) = -3(-\frac{1}{6})^2 - (-\frac{1}{6}) - 2 = -3 \cdot \frac{1}{36} + \frac{1}{6} - 2 = -\frac{1}{12} + \frac{2}{12} - \frac{24}{12} = \frac{1-24}{12} = -\frac{23}{12}$.
Таким образом, максимальное значение функции равно $-\frac{23}{12}$.
Область значений функции: $(-\infty; -\frac{23}{12}]$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; -\frac{23}{12}]$.

4) $y = \frac{2x}{x^2-4}$
Чтобы найти область значений, выразим $x$ через $y$. Для этого решим уравнение относительно $x$.
$y(x^2 - 4) = 2x$
$yx^2 - 4y = 2x$
$yx^2 - 2x - 4y = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $x$.
Случай 1: $y = 0$.
Уравнение принимает вид $-2x = 0$, откуда $x=0$. Так как $x=0$ входит в область определения исходной функции, то $y=0$ входит в ее область значений.
Случай 2: $y \neq 0$.
Уравнение $yx^2 - 2x - 4y = 0$ является квадратным. Оно имеет действительные корни для $x$ тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(y)(-4y) = 4 + 16y^2$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$4 + 16y^2 \ge 0$.
Поскольку $y^2 \ge 0$ для любого действительного числа $y$, то $16y^2 \ge 0$, и следовательно, $4 + 16y^2 \ge 4$. Неравенство $4 + 16y^2 \ge 0$ выполняется для любого действительного значения $y$.
Это означает, что для любого $y \in \mathbb{R}$ найдется такое $x$, что выполняется исходное равенство. Таким образом, область значений функции — множество всех действительных чисел.
Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

12. Постройте график функции:

1) $y = 2\sqrt{3x - 1} + 1;$

2) $y = 4\sqrt{2x - 3} - 1;$

3) $y = 3(2x + 1)^2 - 2;$

4) $y = 2(3x - 1)^2 + 1;$

5) $y = \sqrt{1 - |x|};$

6) $y = \frac{1}{|x| - 4};$

7) $y = \frac{1}{|x + 1| - 3};$

8) $y = (|x + 1| + 2)^2.$

1) $y = 2\sqrt{3x - 1} + 1$

График этой функции можно построить, применяя преобразования к графику базовой функции $y = \sqrt{x}$.
1. Запишем функцию в виде $y = 2\sqrt{3(x - \frac{1}{3})} + 1$.
2. Построение начинается с графика $y = \sqrt{x}$.
3. $y = \sqrt{3x}$: сжатие графика к оси OY в 3 раза.
4. $y = \sqrt{3(x - \frac{1}{3})}$: сдвиг графика вправо на $\frac{1}{3}$ единиц.
5. $y = 2\sqrt{3(x - \frac{1}{3})}$: растяжение графика вдоль оси OY в 2 раза.
6. $y = 2\sqrt{3(x - \frac{1}{3})} + 1$: сдвиг графика вверх на 1 единицу.
Область определения функции: $3x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{3}$.
Начальная точка графика — $(\frac{1}{3}, 1)$.
Для построения найдем еще несколько точек: - если $x = \frac{2}{3}$, то $y = 2\sqrt{3 \cdot \frac{2}{3} - 1} + 1 = 2\sqrt{1} + 1 = 3$. Точка $(\frac{2}{3}, 3)$. - если $x = \frac{5}{3}$, то $y = 2\sqrt{3 \cdot \frac{5}{3} - 1} + 1 = 2\sqrt{4} + 1 = 5$. Точка $(\frac{5}{3}, 5)$.

Ответ: График — ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{1}{3}, 1)$ и проходящая через точки $(\frac{2}{3}, 3)$ и $(\frac{5}{3}, 5)$ вправо и вверх.

2) $y = 4\sqrt{2x - 3} - 1$

График строится преобразованиями функции $y = \sqrt{x}$.
1. Перепишем функцию: $y = 4\sqrt{2(x - \frac{3}{2})} - 1$.
2. Базовая функция $y = \sqrt{x}$.
3. Сжимаем по оси OX в 2 раза ($y = \sqrt{2x}$), сдвигаем вправо на $\frac{3}{2}$ ($y = \sqrt{2(x - \frac{3}{2})}$), растягиваем по оси OY в 4 раза ($y = 4\sqrt{2(x - \frac{3}{2})}$) и сдвигаем вниз на 1 ($y = 4\sqrt{2(x - \frac{3}{2})} - 1$).
Область определения: $2x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{3}{2}$.
Начальная точка графика — $(\frac{3}{2}, -1)$.
Найдем контрольные точки: - если $x = 2$, то $y = 4\sqrt{2 \cdot 2 - 3} - 1 = 4\sqrt{1} - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$. - если $x = \frac{7}{2}$, то $y = 4\sqrt{2 \cdot \frac{7}{2} - 3} - 1 = 4\sqrt{4} - 1 = 7$. Точка $(\frac{7}{2}, 7)$.

Ответ: График — ветвь параболы, начинающаяся в точке $(\frac{3}{2}, -1)$ и идущая вправо и вверх через точки $(2, 3)$ и $(\frac{7}{2}, 7)$.

3) $y = 3(2x + 1)^2 - 2$

Это парабола, график которой можно получить из графика $y = x^2$.
1. Перепишем функцию: $y = 3(2(x + \frac{1}{2}))^2 - 2 = 3 \cdot 4(x + \frac{1}{2})^2 - 2 = 12(x + \frac{1}{2})^2 - 2$.
2. График $y=x^2$ сдвигается влево на $\frac{1}{2}$, растягивается по оси OY в 12 раз и сдвигается вниз на 2.
Вершина параболы находится в точке $(-\frac{1}{2}, -2)$. Ветви направлены вверх.
Найдем точку пересечения с осью OY: при $x=0$, $y = 3(1)^2 - 2 = 1$. Точка $(0, 1)$.
Точка, симметричная точке $(0, 1)$ относительно оси параболы $x = -0.5$, будет $(-1, 1)$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(-\frac{1}{2}, -2)$, ветвями вверх, проходящая через точку $(0, 1)$.

4) $y = 2(3x - 1)^2 + 1$

Это парабола, график которой можно получить из графика $y = x^2$.
1. Перепишем функцию: $y = 2(3(x - \frac{1}{3}))^2 + 1 = 2 \cdot 9(x - \frac{1}{3})^2 + 1 = 18(x - \frac{1}{3})^2 + 1$.
2. График $y=x^2$ сдвигается вправо на $\frac{1}{3}$, растягивается по оси OY в 18 раз и сдвигается вверх на 1.
Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{3}, 1)$. Ветви направлены вверх.
Найдем точку пересечения с осью OY: при $x=0$, $y = 2(-1)^2 + 1 = 3$. Точка $(0, 3)$.
Симметричная точка: $(\frac{2}{3}, 3)$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(\frac{1}{3}, 1)$, ветвями вверх, проходящая через точку $(0, 3)$.

5) $y = \sqrt{1 - |x|}$

1. Область определения: $1 - |x| \geq 0 \Rightarrow |x| \leq 1 \Rightarrow -1 \leq x \leq 1$.
2. Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt{1-|-x|} = \sqrt{1-|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.
3. Рассмотрим случай $x \geq 0$. Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{1-x}$. Это верхняя половина параболы $x=1-y^2$, ветви которой направлены влево.
4. Построим эту часть графика на промежутке $[0, 1]$. Ключевые точки: - при $x=0$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка $(0, 1)$. - при $x=1$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка $(1, 0)$.
5. Отразим построенную часть графика симметрично относительно оси OY, чтобы получить график на промежутке $[-1, 0]$.

Ответ: График представляет собой дугу, соединяющую точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и достигающую максимума в точке $(0, 1)$.

6) $y = \frac{1}{|x| - 4}$

1. Область определения: знаменатель не равен нулю, $|x| - 4 \neq 0 \Rightarrow |x| \neq 4 \Rightarrow x \neq 4$ и $x \neq -4$.
2. Вертикальные асимптоты: $x=4$ и $x=-4$.
3. Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
4. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
5. Построим график для $x \geq 0$, где $y = \frac{1}{x-4}$. Это гипербола, сдвинутая на 4 вправо. - при $x=0, y = -1/4$. Точка $(0, -1/4)$. - при $x \to 4^-$, $y \to -\infty$. - при $x \to 4^+$, $y \to +\infty$.
6. Отразим построенный график относительно оси OY.

Ответ: График имеет три ветви. Две ветви расположены над осью OX при $x > 4$ и $x < -4$, приближаясь к асимптотам $x=4$, $x=-4$ и $y=0$. Третья ветвь находится между асимптотами, имеет форму "перевернутой" параболы с вершиной в точке $(0, -1/4)$ и уходит в $-\infty$ при приближении к асимптотам.

7) $y = \frac{1}{|x + 1| - 3}$

График этой функции можно получить сдвигом графика функции $y = \frac{1}{|x| - 3}$ на 1 единицу влево.
1. Для функции $y = \frac{1}{|x| - 3}$: вертикальные асимптоты $x=\pm 3$, горизонтальная $y=0$, локальный максимум в точке $(0, -1/3)$.
2. Сдвигаем все это на 1 влево: - Вертикальные асимптоты смещаются в $x = 3-1=2$ и $x = -3-1=-4$. - Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте. - Локальный максимум смещается в точку $(0-1, -1/3) = (-1, -1/3)$.
3. Область определения: $|x+1|-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -4$.

Ответ: График, аналогичный графику из пункта 6, но смещенный влево. Вертикальные асимптоты $x=-4$ и $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$. Локальный максимум в точке $(-1, -1/3)$.

8) $y = (|x + 1| + 2)^2$

1. Построим график по частям, раскрывая модуль. Точка "перелома" $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.
2. При $x \geq -1$: $|x+1| = x+1$. Функция принимает вид $y = (x+1+2)^2 = (x+3)^2$. Это парабола с вершиной в $(-3, 0)$. Мы берем только ее правую часть, начиная с $x=-1$. При $x=-1$, $y=(-1+3)^2 = 4$.
3. При $x < -1$: $|x+1| = -(x+1)$. Функция принимает вид $y = (-(x+1)+2)^2 = (-x+1)^2 = (x-1)^2$. Это парабола с вершиной в $(1, 0)$. Мы берем только ее левую часть до $x=-1$. При $x \to -1^-$, $y \to (-1-1)^2 = 4$.
4. График состоит из двух ветвей разных парабол, которые гладко соединяются в точке $(-1, 4)$. Эта точка является точкой минимума (вершиной) всего графика. Область значений: так как $|x+1| \geq 0$, то $|x+1|+2 \geq 2$, следовательно $y = (|x+1|+2)^2 \geq 2^2=4$. $E(y) = [4, +\infty)$.

Ответ: График состоит из двух дуг парабол, образующих "чашу" с вершиной в точке $(-1, 4)$. Для $x \geq -1$ это часть параболы $y=(x+3)^2$, а для $x < -1$ — часть параболы $y=(x-1)^2$. График симметричен относительно прямой $x=-1$.

13. Сколько корней имеет уравнение $|(x + 1)^2 - 1| = a$ в зависимости от значения параметра $a$?

Для определения количества корней уравнения $|(x+1)^2 - 1| = a$ в зависимости от параметра $a$, рассмотрим несколько случаев, основываясь на значении $a$.

Левая часть уравнения $|(x+1)^2 - 1|$ представляет собой абсолютную величину, поэтому она всегда неотрицательна, то есть $|(x+1)^2 - 1| \ge 0$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело действительные корни, правая часть $a$ также должна быть неотрицательной ($a \ge 0$).

В этом случае левая часть уравнения неотрицательна, а правая часть отрицательна. Равенство невозможно, поэтому уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: 0 корней.

Уравнение принимает вид $|(x+1)^2 - 1| = 0$, что равносильно $(x+1)^2 - 1 = 0$.

Решаем это уравнение:
$(x+1)^2 = 1$
$x+1 = \pm 1$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1 - 1 = 0$ и $x_2 = -1 - 1 = -2$.

Ответ: 2 корня.

Уравнение $|(x+1)^2 - 1| = a$ равносильно совокупности двух уравнений:

1) $(x+1)^2 - 1 = a \implies (x+1)^2 = a + 1$

2) $(x+1)^2 - 1 = -a \implies (x+1)^2 = 1 - a$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно. Уравнение 1), $(x+1)^2 = a + 1$, при $a > 0$ всегда имеет два различных действительных корня: $x = -1 \pm \sqrt{a+1}$. Количество корней исходного уравнения будет зависеть от количества корней уравнения 2), $(x+1)^2 = 1 - a$, которое, в свою очередь, зависит от знака выражения $1-a$. Это приводит нас к рассмотрению трех подслучаев.

В этом случае выражение $1-a$ положительно ($0 < 1-a < 1$). Уравнение $(x+1)^2 = 1-a$ имеет два различных действительных корня: $x = -1 \pm \sqrt{1-a}$. Так как первое уравнение также имеет два корня, и все четыре корня различны ($\sqrt{1-a} \neq \sqrt{a+1}$ при $a \neq 0$), общее количество корней равно $2+2=4$.

Ответ: 4 корня.

Первое уравнение $(x+1)^2 = 1+1 = 2$ дает два корня: $x = -1 \pm \sqrt{2}$. Второе уравнение $(x+1)^2 = 1-1 = 0$ дает один корень: $x = -1$. Всего получаем три различных корня.

Ответ: 3 корня.

Первое уравнение $(x+1)^2 = a+1$ имеет два различных корня: $x = -1 \pm \sqrt{a+1}$. Во втором уравнении $(x+1)^2 = 1-a$ правая часть $1-a$ отрицательна. Следовательно, второе уравнение не имеет действительных корней. Общее количество корней равно 2.

Ответ: 2 корня.

14. Какие из функций, графики которых изображены на рисунке 2, являются обратимыми?

Рис. 2

На осях графиков: $y$, $x$, $0$

а

б

в

г

Функция является обратимой тогда и только тогда, когда она является строго монотонной на всей своей области определения, то есть либо строго возрастает, либо строго убывает. Графически это можно проверить с помощью теста горизонтальной прямой: если любая горизонтальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке, то функция обратима.

а) График, изображенный на рисунке а, представляет собой строго убывающую функцию. Любая горизонтальная прямая $y=c$ пересекает этот график ровно в одной точке. Следовательно, функция является обратимой.
Ответ: является обратимой.

б) Функция, график которой изображен на рисунке б, является строго возрастающей на всей своей области определения (которая состоит из нескольких интервалов). Каждая последующая часть графика расположена выше предыдущей. Любая горизонтальная прямая $y=c$ пересекает график не более одного раза. Следовательно, эта функция является обратимой.
Ответ: является обратимой.

в) Функция, график которой изображен на рисунке в, не является строго монотонной. На одном участке она возрастает, а на другом — убывает. Можно провести горизонтальную прямую (например, на уровне $y=0.5$), которая пересечет график в двух различных точках. Поскольку тест горизонтальной прямой не пройден, функция не является обратимой.
Ответ: не является обратимой.

г) Функция, график которой изображен на рисунке г, очевидно не является монотонной. Она имеет несколько интервалов возрастания и убывания. Можно провести горизонтальную прямую, которая пересечет график в четырех точках. Следовательно, функция не является обратимой.
Ответ: не является обратимой.