Страница 406 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = \frac{1-x}{1+x}$

2) $y = \begin{cases} \sqrt{x-2}, \text{ если } x \ge 3, \\ 2x-5, \text{ если } x < 3. \end{cases}$

1) Чтобы найти функцию, обратную к данной $y = \frac{1-x}{1+x}$, необходимо выразить $x$ через $y$.
Сначала определим область определения исходной функции $D(y)$: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $1+x \neq 0$, откуда $x \neq -1$.
Теперь выразим $x$ из уравнения $y = \frac{1-x}{1+x}$:
$y(1+x) = 1-x$
$y + yx = 1-x$
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а остальные — в правую:
$yx + x = 1-y$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(y+1) = 1-y$
Отсюда получаем:
$x = \frac{1-y}{1+y}$
Из этого выражения видно, что область значений исходной функции $E(y)$ определяется условием $y+1 \neq 0$, то есть $y \neq -1$.
Для получения обратной функции поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = \frac{1-x}{1+x}$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, т.е. $x \neq -1$. Интересно, что обратная функция совпала с исходной.
Ответ: $y = \frac{1-x}{1+x}$

2) Нам дана кусочно-заданная функция:$y = \begin{cases} \sqrt{x-2}, & \text{если } x \ge 3 \\ 2x-5, & \text{если } x < 3 \end{cases}$
Чтобы найти обратную функцию, мы должны найти обратную функцию для каждого "куска" отдельно. Для этого также нужно найти область значений для каждого "куска", так как она станет областью определения для соответствующей части обратной функции.

Рассмотрим первую часть: $y = \sqrt{x-2}$ при условии $x \ge 3$.
Найдем область значений для этой части. Если $x \ge 3$, то $x-2 \ge 1$. Следовательно, $\sqrt{x-2} \ge \sqrt{1}$, что означает $y \ge 1$.
Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \sqrt{x-2}$ (учитывая, что $y \ge 0$ по определению арифметического корня):
$y^2 = (\sqrt{x-2})^2$
$y^2 = x-2$
$x = y^2 + 2$
Теперь меняем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию: $y = x^2 + 2$.
Область определения этой части обратной функции — это область значений исходной части, то есть $x \ge 1$.

Рассмотрим вторую часть: $y = 2x-5$ при условии $x < 3$.
Найдем область значений для этой части. Это линейная возрастающая функция. Если $x < 3$, то $2x < 6$, и $2x-5 < 6-5$, что означает $y < 1$.
Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 2x-5$:
$y+5 = 2x$
$x = \frac{y+5}{2}$
Меняем местами $x$ и $y$: $y = \frac{x+5}{2}$.
Область определения этой части обратной функции — это область значений исходной части, то есть $x < 1$.

Объединяем результаты.
Обратная функция имеет вид:
$y = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } x \ge 1 \\ \frac{x+5}{2}, & \text{если } x < 1 \end{cases}$
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } x \ge 1 \\ \frac{x+5}{2}, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

16. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 6x)(x^2 + 5x - 6) < 0;$

2) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 + 3x + 2) \ge 0;$

3) $4x^3 - 25x < 0;$

4) $\frac{x^3 - 16x}{x^2 - x - 30} < 0;$

5) $(x - 1)(x + 3)^2(x - 2) < 0;$

6) $(2x + 1)^2(x^2 - 4x + 3) > 0;$

7) $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 2) \ge 0;$

8) $(x - 5)(x + 4)(x^2 + 6x + 9) \ge 0.$

1) $(x^2 - 6x)(x^2 + 5x - 6) < 0$

Разложим на множители каждый квадратный трехчлен.
Первый множитель: $x^2 - 6x = x(x - 6)$.
Второй множитель: $x^2 + 5x - 6$. Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а произведение равно $-6$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$. Тогда $x^2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)$.
Неравенство принимает вид:
$x(x - 6)(x - 1)(x + 6) < 0$
Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули (корни) левой части: $x = 0$, $x = 6$, $x = 1$, $x = -6$.
Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-6, 0, 1, 6$. Они разбивают прямую на пять интервалов.
Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(6; +\infty)$, взяв, например, $x=7$:
$7(7 - 6)(7 - 1)(7 + 6) > 0$. Знак "+".
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "−").
Это интервалы $(-6; 0)$ и $(1; 6)$.

Ответ: $x \in (-6; 0) \cup (1; 6)$.

2) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 + 3x + 2) \ge 0$

Разложим на множители каждый квадратный трехчлен.
$x^2 - 4x + 3$. Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.
$x^2 + 3x + 2$. Корни уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = -2$. Тогда $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.
Неравенство принимает вид:
$(x - 1)(x - 3)(x + 1)(x + 2) \ge 0$
Решим методом интервалов. Корни: $1, 3, -1, -2$.
Отметим точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-2, -1, 1, 3$. Так как неравенство нестрогое, точки являются частью решения.
Определим знаки в интервалах. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно. Все корни имеют нечетную кратность (1), поэтому знаки чередуются: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.
Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").
Это интервалы $(-\infty; -2]$, $[-1; 1]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 1] \cup [3; +\infty)$.

3) $4x^3 - 25x < 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(4x^2 - 25) < 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:
$x(2x - 5)(2x + 5) < 0$
Решим методом интервалов. Корни: $x = 0$, $x = 5/2$, $x = -5/2$.
Отметим точки на числовой прямой: $-5/2, 0, 5/2$.
Определим знаки в интервалах. При $x > 5/2$ все множители положительны, знак "+". Знаки чередуются: $-, +, -, +$.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "−").
Это интервалы $(-\infty; -5/2)$ и $(0; 5/2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5/2) \cup (0; 5/2)$.

4) $\frac{x^3 - 16x}{x^2 - x - 30} < 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^3 - 16x = x(x^2 - 16) = x(x - 4)(x + 4)$.
Знаменатель: $x^2 - x - 30$. Корни уравнения $x^2 - x - 30 = 0$ по теореме Виета $x_1=6, x_2=-5$. Тогда $x^2 - x - 30 = (x - 6)(x + 5)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{x(x - 4)(x + 4)}{(x - 6)(x + 5)} < 0$
Применим метод интервалов.
Нули числителя (точки, где выражение равно 0): $x=0, x=4, x=-4$.
Нули знаменателя (точки, где выражение не определено, эти точки всегда "выколотые"): $x=6, x=-5$.
Отметим все точки на числовой прямой: $-5, -4, 0, 4, 6$.
Определим знаки. При $x > 6$ все множители положительны, дробь положительна. Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки чередуются.
Расстановка знаков справа налево: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$, $-$.
Нас интересуют интервалы, где дробь отрицательна (знак "−").

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-4; 0) \cup (4; 6)$.

5) $(x - 1)(x + 3)^2(x - 2) < 0$

Решим методом интервалов. Корни: $x=1$, $x=-3$, $x=2$.
Корень $x=-3$ имеет кратность 2 (четная). Это означает, что при переходе через точку $x=-3$ знак выражения на числовой прямой меняться не будет.
Отметим точки на числовой прямой: $-3, 1, 2$.
Определим знаки. В крайнем правом интервале $(2; +\infty)$ выражение положительно.
Двигаясь справа налево:
- в точке $x=2$ (нечетная кратность) знак меняется на "−".
- в точке $x=1$ (нечетная кратность) знак меняется на "+".
- в точке $x=-3$ (четная кратность) знак не меняется, остается "+".
Расстановка знаков: $+$, $+$, $-$, $+$.
Нас интересует интервал, где выражение строго меньше нуля (знак "−").

Ответ: $x \in (1; 2)$.

6) $(2x + 1)^2(x^2 - 4x + 3) > 0$

Разложим на множители $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
Неравенство принимает вид: $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 3) > 0$.
Множитель $(2x + 1)^2$ всегда неотрицателен ($\ge 0$). Поскольку неравенство строгое ($>0$), этот множитель не может быть равен нулю. Следовательно, $2x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1/2$.
При $x \neq -1/2$, множитель $(2x + 1)^2$ строго положителен, и мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака:
$(x - 1)(x - 3) > 0$.
Решением этого квадратного неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.
Теперь необходимо учесть условие $x \neq -1/2$. Так как точка $-1/2$ входит в интервал $(-\infty; 1)$, мы должны ее исключить.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (-1/2; 1) \cup (3; +\infty)$.

7) $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 2) \ge 0$

Неравенство нестрогое, поэтому левая часть может быть равна нулю или быть больше нуля.
1. Выражение равно нулю при $2x + 1 = 0$ (т.е. $x = -1/2$), $x - 1 = 0$ (т.е. $x = 1$) или $x - 2 = 0$ (т.е. $x = 2$). Эти три значения являются решениями.
2. Выражение строго больше нуля: $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 2) > 0$. При $x \neq -1/2$ множитель $(2x+1)^2$ положителен. Решаем $(x - 1)(x - 2) > 0$. Решение: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.
Объединим решения: к множеству $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$ добавляем точки $x=-1/2$, $x=1$ и $x=2$.
Точка $x=-1/2$ уже находится в интервале $(-\infty; 1)$. Добавление точек $x=1$ и $x=2$ к интервалам $(-\infty; 1)$ и $(2; +\infty)$ соответственно дает нам замкнутые интервалы.
Итоговое решение: $x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

8) $(x - 5)(x + 4)(x^2 + 6x + 9) \ge 0$

Заметим, что выражение $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом: $(x + 3)^2$.
Неравенство принимает вид: $(x - 5)(x + 4)(x + 3)^2 \ge 0$.
Множитель $(x + 3)^2$ всегда неотрицателен ($\ge 0$).
Рассмотрим два случая:
1. Если $(x + 3)^2 = 0$, то есть $x = -3$. В этом случае все выражение равно 0, и неравенство $0 \ge 0$ выполняется. Значит, $x = -3$ является решением.
2. Если $(x + 3)^2 > 0$, то есть $x \neq -3$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $(x + 3)^2$, не меняя знака:
$(x - 5)(x + 4) \ge 0$.
Решением этого квадратного неравенства является множество $x \in (-\infty; -4] \cup [5; +\infty)$.
Объединяем решения из обоих случаев: к множеству $(-\infty; -4] \cup [5; +\infty)$ добавляем изолированную точку $x=-3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup \{-3\} \cup [5; +\infty)$.

17. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \ge 0;$

2) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} < 0.$

1) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

1. Найдем корни числителя $x^2 + x - 20 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -20$
Корни равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$.
Таким образом, числитель можно разложить на множители: $x^2 + x - 20 = (x+5)(x-4)$.

2. Разложим на множители знаменатель $x^2 - 6x + 9$.
Это формула квадрата разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

3. Перепишем неравенство в новом виде:
$\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2} \ge 0$

4. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $(x-3)^2 \neq 0 \implies x \neq 3$.

5. Решим неравенство методом интервалов.
Отметим на числовой прямой корни числителя ($x=-5$, $x=4$) закрашенными точками, так как неравенство нестрогое, и корень знаменателя ($x=3$) выколотой точкой, так как он не входит в ОДЗ.
Точки делят прямую на интервалы: $(-\infty, -5]$, $[-5, 3)$, $(3, 4]$, $[4, \infty)$.
Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$. Поэтому знак дроби зависит только от знака числителя $(x+5)(x-4)$.
График функции $y=(x+5)(x-4)$ — это парабола с ветвями вверх, она принимает неотрицательные значения при $x \le -5$ и при $x \ge 4$.
Таким образом, решение неравенства $(x+5)(x-4) \ge 0$ есть объединение промежутков $(-\infty, -5] \cup [4, \infty)$.
Условие $x \neq 3$ выполняется для всех $x$ из этого множества, так как точка 3 не входит в найденные промежутки.

Следовательно, решение исходного неравенства совпадает с решением неравенства $(x+5)(x-4) \ge 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [4, \infty)$.

2) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} < 0$

Используем разложение на множители, полученное в предыдущем пункте:

$\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2} < 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) та же: $x \neq 3$.

Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$. Чтобы дробь была отрицательной, необходимо, чтобы числитель был отрицательным.

Решим неравенство: $(x+5)(x-4) < 0$.

График функции $y=(x+5)(x-4)$ — парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между своими корнями, то есть при $-5 < x < 4$.

Таким образом, решение этого неравенства — интервал $(-5, 4)$.

Теперь учтем ОДЗ: $x \neq 3$. Точка $x=3$ принадлежит интервалу $(-5, 4)$, поэтому ее необходимо исключить из решения.

Исключив точку 3, получаем объединение двух интервалов: $(-5, 3) \cup (3, 4)$.

Ответ: $x \in (-5, 3) \cup (3, 4)$.

18. Решите неравенство:

1) $\frac{x - 2}{x + 3} \ge \frac{3x - 4}{x + 3}$;

2) $\frac{x - 1}{x} - \frac{x + 1}{x - 1} < 2.$

1) $\frac{x-2}{x+3} \ge \frac{3x-4}{x+3}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не должен равняться нулю, следовательно $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$\frac{x-2}{x+3} - \frac{3x-4}{x+3} \ge 0$

Поскольку знаменатели одинаковы, приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{x-2 - (3x-4)}{x+3} \ge 0$
$\frac{x-2 - 3x+4}{x+3} \ge 0$
$\frac{-2x+2}{x+3} \ge 0$

Разделим обе части неравенства на $-2$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\frac{x-1}{x+3} \le 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=1$ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $x=-3$ исключается (знаменатель не может быть равен нулю). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x-1}{x+3}$ в каждом интервале. В крайнем правом интервале $(1, +\infty)$ при $x=2$ выражение положительно. Так как все корни имеют кратность 1, знаки в интервалах чередуются: $+, -, +$.

Нас интересует промежуток, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это соответствует интервалу со знаком «минус», включая правую границу $x=1$.
Ответ: $x \in (-3, 1]$.

2) $\frac{x-1}{x} - \frac{x+1}{x-1} < 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны равняться нулю, следовательно $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем их к общему знаменателю $x(x-1)$:
$\frac{x-1}{x} - \frac{x+1}{x-1} - 2 < 0$
$\frac{(x-1)(x-1)}{x(x-1)} - \frac{(x+1)x}{x(x-1)} - \frac{2x(x-1)}{x(x-1)} < 0$

Запишем все под одной дробной чертой и упростим числитель:
$\frac{(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + x) - (2x^2 - 2x)}{x(x-1)} < 0$
$\frac{x^2 - 2x + 1 - x^2 - x - 2x^2 + 2x}{x(x-1)} < 0$
$\frac{-2x^2 - x + 1}{x(x-1)} < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{2x^2 + x - 1}{x(x-1)} > 0$

Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$:
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 9$.
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Корни знаменателя: $x=0$ и $x=1$.

Применим метод интервалов. Отметим на числовой прямой все корни в порядке возрастания: -1, 0, 1/2, 1. Все точки выколотые, так как неравенство строгое. Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, 1)$, $(1, +\infty)$.

Определим знаки выражения $\frac{2(x+1)(x - \frac{1}{2})}{x(x-1)}$ на интервалах. На крайнем правом интервале $(1, +\infty)$ выражение положительно. Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются: $+, -, +, -, +$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше нуля ($>0$). Это интервалы со знаком «плюс».
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \frac{1}{2}) \cup (1, +\infty)$.

19. Решите неравенство:

1) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \ge 0;$

2) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} < 0.$

1) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \ge 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$14 + 5x - x^2 \ge 0$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства:

$x^2 - 5x - 14 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 9}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7$.

График функции $y = x^2 - 5x - 14$ — это парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 5x - 14 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

ОДЗ: $x \in [-2, 7]$.

Теперь решим исходное неравенство на этой области. Произведение неотрицательно, если:

а) Оно равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю:

$\sqrt{14 + 5x - x^2} = 0$, что равносильно $14 + 5x - x^2 = 0$. Корни этого уравнения $x = -2$ и $x = 7$.

Или $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$.

Все эти три значения ($x = -2$, $x = 3$, $x = 7$) входят в ОДЗ и являются решениями неравенства.

б) Оно строго больше нуля. Так как $\sqrt{14 + 5x - x^2}$ на ОДЗ всегда неотрицателен, для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы оба множителя были положительны:

$\begin{cases} \sqrt{14 + 5x - x^2} > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases}$

Первое неравенство $14 + 5x - x^2 > 0$ выполняется для $x \in (-2, 7)$.

Второе неравенство $x - 3 > 0$ выполняется для $x > 3$.

Пересечение этих двух условий дает интервал $x \in (3, 7)$.

Объединяя все найденные решения из пунктов а) и б), получаем: $\{-2, 7\} \cup \{3\} \cup (3, 7) = \{-2\} \cup [3, 7]$.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [3, 7]$.

2) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} < 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) та же, что и в первом пункте: $x \in [-2, 7]$.

Неравенство является строгим, поэтому произведение не может быть равно нулю. Это значит, что $x \neq -2$, $x \neq 7$ и $x \neq 3$.

Выражение $\sqrt{14 + 5x - x^2}$ на своей области определения неотрицательно. Чтобы произведение было отрицательным, это выражение должно быть строго положительным, а второй множитель $(x - 3)$ — строго отрицательным.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} \sqrt{14 + 5x - x^2} > 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

1. $\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0$ равносильно $14 + 5x - x^2 > 0$, что выполняется на интервале $x \in (-2, 7)$.

2. $x - 3 < 0$ равносильно $x < 3$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств решений: $x \in (-2, 7)$ и $x < 3$.

Пересечением является интервал $(-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.

20. Решите неравенство $\left|\frac{x}{x^2 - 9}\right| \le \frac{x}{x^2 - 9}$

Данное неравенство имеет вид $|A| \le A$, где $A = \frac{x}{x^2 - 9}$.

По определению, модуль числа $|A|$ всегда неотрицателен, т.е. $|A| \ge 0$. Неравенство $|A| \le A$ может выполняться только в том случае, если $A$ — неотрицательное число. Рассмотрим все возможные случаи:

• Если $A > 0$, то $|A| = A$. Неравенство принимает вид $A \le A$, что является верным тождеством.
• Если $A = 0$, то $|A| = 0$. Неравенство принимает вид $0 \le 0$, что также верно.
• Если $A < 0$, то $|A| = -A$. Неравенство принимает вид $-A \le A$. Так как $A$ — отрицательное число, то $-A$ — положительное. Перенеся $-A$ в правую часть, получим $0 \le 2A$, что равносильно $A \ge 0$. Это противоречит нашему предположению, что $A < 0$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему неравенству:

$$ \frac{x}{x^2 - 9} \ge 0 $$

Для решения этого рационального неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x^2 - 9 \ne 0$

$x^2 \ne 9$

$x \ne 3$ и $x \ne -3$.

2. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x = 0$.

Нули знаменателя: $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) = 0 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 3$.

3. Отметим найденные точки на числовой оси. Точка $x=0$ будет закрашенной (включена в решение), так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точки $x=-3$ и $x=3$ будут выколотыми, так как они обращают знаменатель в ноль.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0]$, $[0; 3)$, $(3; +\infty)$.

4. Определим знак выражения $f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$ в каждом из интервалов.

• Для интервала $(3; +\infty)$ возьмем $x=4$: $f(4) = \frac{4}{4^2-9} = \frac{4}{7} > 0$. Ставим знак «+».
• Для интервала $(0; 3)$ возьмем $x=1$: $f(1) = \frac{1}{1^2-9} = \frac{1}{-8} < 0$. Ставим знак «−».
• Для интервала $(-3; 0)$ возьмем $x=-1$: $f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2-9} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8} > 0$. Ставим знак «+».
• Для интервала $(-\infty; -3)$ возьмем $x=-4$: $f(-4) = \frac{-4}{(-4)^2-9} = \frac{-4}{7} < 0$. Ставим знак «−».

5. Выберем интервалы, которые удовлетворяют условию $\frac{x}{x^2 - 9} \ge 0$. Это интервалы со знаком «+», а также точка, где выражение равно нулю.

Решением являются промежутки, где выражение положительно, и точка, где оно равно нулю.

$x \in (-3; 0] \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; 0] \cup (3; +\infty)$.

21. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $\frac{x-5}{x-a} \ge 0;$

2) $\frac{(x+1)(x-a)}{x+1} \ge 0.$

Решим неравенство $\frac{x-5}{x-a} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя — это точки $x=5$ и $x=a$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Решение зависит от взаимного расположения точек $5$ и $a$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-a \ne 0$, то есть $x \ne a$.

Рассмотрим три случая:

Случай 1: $a < 5$

Точки на числовой оси располагаются в порядке $a$, $5$. Они разбивают ось на интервалы $(-\infty, a)$, $(a, 5)$ и $(5, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, a)$, имеем $x-5 < 0$ и $x-a < 0$, дробь $\frac{-}{-} > 0$.
• При $x \in (a, 5)$, имеем $x-5 < 0$ и $x-a > 0$, дробь $\frac{-}{+} < 0$.
• При $x \in (5, \infty)$, имеем $x-5 > 0$ и $x-a > 0$, дробь $\frac{+}{+} > 0$.

Неравенство является нестрогим ($\ge$), поэтому корень числителя $x=5$ включается в решение. Корень знаменателя $x=a$ исключается. Таким образом, решением является объединение интервалов, где дробь положительна, и точки $x=5$.

Решение: $x \in (-\infty, a) \cup [5, \infty)$.

Случай 2: $a = 5$

Неравенство принимает вид $\frac{x-5}{x-5} \ge 0$.

ОДЗ: $x \ne 5$. При всех $x \ne 5$ левая часть неравенства равна 1. Неравенство $1 \ge 0$ верно для всех $x$ из ОДЗ.

Решение: $x \in (-\infty, 5) \cup (5, \infty)$.

Случай 3: $a > 5$

Точки на числовой оси располагаются в порядке $5$, $a$. Они разбивают ось на интервалы $(-\infty, 5)$, $(5, a)$ и $(a, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, 5)$, имеем $x-5 < 0$ и $x-a < 0$, дробь $\frac{-}{-} > 0$.
• При $x \in (5, a)$, имеем $x-5 > 0$ и $x-a < 0$, дробь $\frac{+}{-} < 0$.
• При $x \in (a, \infty)$, имеем $x-5 > 0$ и $x-a > 0$, дробь $\frac{+}{+} > 0$.

Включаем корень числителя $x=5$ и исключаем корень знаменателя $x=a$.

Решение: $x \in (-\infty, 5] \cup (a, \infty)$.

Ответ: если $a < 5$, то $x \in (-\infty, a) \cup [5, \infty)$;
если $a = 5$, то $x \in (-\infty, 5) \cup (5, \infty)$;
если $a > 5$, то $x \in (-\infty, 5] \cup (a, \infty)$.

Рассмотрим неравенство $\frac{(x+1)(x-a)}{x+1} \ge 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x+1 \ne 0$, откуда $x \ne -1$.

При $x \ne -1$ мы можем сократить дробь на $(x+1)$. Неравенство упрощается до:

$x - a \ge 0$

$x \ge a$

Теперь необходимо совместить полученное решение $x \ge a$ с ОДЗ $x \ne -1$. Это означает, что из множества $[a, \infty)$ нужно исключить точку $-1$, если она туда попадает. Рассмотрим три случая в зависимости от значения $a$.

Случай 1: $a > -1$

Промежуток $[a, \infty)$ состоит из чисел, которые больше или равны $a$. Так как $a > -1$, то все числа из этого промежутка автоматически больше $-1$. Таким образом, точка $x = -1$ не принадлежит промежутку $[a, \infty)$, и никаких исключений делать не нужно.

Решение: $x \in [a, \infty)$.

Случай 2: $a = -1$

Решение $x \ge a$ принимает вид $x \ge -1$. Из этого множества нужно исключить точку $x=-1$ согласно ОДЗ.

Решение: $x > -1$, то есть $x \in (-1, \infty)$.

Случай 3: $a < -1$

Решением является промежуток $[a, \infty)$. Так как $a < -1$, то точка $x = -1$ находится внутри этого промежутка. Следовательно, ее нужно исключить.

Решение: $x \in [a, -1) \cup (-1, \infty)$.

Ответ: если $a < -1$, то $x \in [a, -1) \cup (-1, \infty)$;
если $a = -1$, то $x \in (-1, \infty)$;
если $a > -1$, то $x \in [a, \infty)$.

22. Постройте график функции:

1) $y = (x + 1)^4$;

2) $y = (x - 1)^3 + 2$;

3) $y = (|x| - 2)^3$;

4) $y = |x + 1|^3$.

1) $y = (x + 1)^4$

Для построения графика функции $y = (x + 1)^4$ воспользуемся методом преобразования графиков.
1. Исходный график - это график степенной функции $y = x^4$. Это четная функция, её график симметричен относительно оси Oy. Он проходит через точки (0, 0), (1, 1), (-1, 1), (2, 16), (-2, 16). График похож на параболу $y=x^2$, но более "плоский" у вершины и круче идет вверх при $|x| > 1$.
2. Функция $y = (x + 1)^4$ получается из функции $y = x^4$ заменой $x$ на $x+1$. Это соответствует преобразованию $f(x) \rightarrow f(x+a)$, где $a=1$. Такое преобразование сдвигает исходный график вдоль оси Ox на $a$ единиц влево.
Таким образом, чтобы построить график функции $y = (x + 1)^4$, нужно сдвинуть график функции $y = x^4$ на 1 единицу влево.
Вершина графика переместится из точки (0, 0) в точку (-1, 0). Ось симметрии сместится с $x=0$ на $x=-1$. Контрольные точки: (-1, 0), (0, 1), (-2, 1).

Ответ: График функции $y = (x + 1)^4$ - это график функции $y = x^4$, сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс.

2) $y = (x - 1)^3 + 2$

Для построения графика функции $y = (x - 1)^3 + 2$ используем последовательные преобразования.
1. Исходный график - это кубическая парабола $y = x^3$. График является нечетной функцией, симметричной относительно начала координат (0, 0). Он проходит через точки (0, 0), (1, 1), (-1, -1), (2, 8), (-2, -8).
2. Первое преобразование: $y = (x - 1)^3$. Это сдвиг графика $y = x^3$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Центр симметрии графика перемещается в точку (1, 0).
3. Второе преобразование: $y = (x - 1)^3 + 2$. Это сдвиг графика $y = (x - 1)^3$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Центр симметрии графика перемещается из точки (1, 0) в точку (1, 2).
Итак, для построения графика нужно взять график $y = x^3$, сдвинуть его на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх.
Центр симметрии графика - точка (1, 2). Контрольные точки: (1, 2), (2, $(2-1)^3+2=3$), (0, $(0-1)^3+2=1$).

Ответ: График функции $y = (x - 1)^3 + 2$ - это график функции $y = x^3$, сдвинутый на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

3) $y = (|x| - 2)^3$

Для построения графика функции $y = (|x| - 2)^3$ используется преобразование $f(x) \rightarrow f(|x|)$. Данная функция является четной, так как $y(-x) = (|-x| - 2)^3 = (|x| - 2)^3 = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси Oy.
Построение можно выполнить в несколько шагов:
1. Построим график вспомогательной функции $g(x) = (x - 2)^3$. Это кубическая парабола $y=x^3$, сдвинутая на 2 единицы вправо. Центр симметрии находится в точке (2, 0).
2. Для получения графика $y = (|x| - 2)^3$ применим правило:
- Для $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, поэтому $y = (x - 2)^3$. В этой области график совпадает с графиком $g(x) = (x - 2)^3$.
- Поскольку функция четная, для $x < 0$ график является зеркальным отражением части графика для $x > 0$ относительно оси Oy.
Таким образом, мы строим график $y = (x-2)^3$ для $x \ge 0$ и затем отражаем его симметрично относительно оси Oy.
Ключевые точки: при $x=0$, $y=(0-2)^3=-8$. Это локальный максимум. Нули функции: $(|x|-2)^3=0 \Rightarrow |x|=2 \Rightarrow x=2$ и $x=-2$.

Ответ: Для построения графика $y = (|x| - 2)^3$ нужно построить график $y = (x - 2)^3$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси Oy.

4) $y = |x + 1|^3$

Заметим, что $|a|^3 = |a^3|$, поэтому функцию можно записать как $y = |(x + 1)^3|$. Для построения этого графика используем преобразование $f(x) \rightarrow |f(x)|$.
Построение выполняется в два шага:
1. Сначала построим график функции $g(x) = (x + 1)^3$. Это кубическая парабола $y=x^3$, сдвинутая на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Центр симметрии находится в точке (-1, 0). График пересекает ось Ox в точке $x = -1$.
2. Теперь применим операцию взятия модуля ко всей функции: $y = |g(x)| = |(x + 1)^3|$. Это преобразование означает, что часть графика $g(x)$, которая находится ниже оси Ox, симметрично отражается вверх относительно оси Ox, а часть, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений.
- Для $x \ge -1$, значение $(x+1)^3 \ge 0$, поэтому график $y = |(x + 1)^3|$ совпадает с графиком $y = (x + 1)^3$.
- Для $x < -1$, значение $(x+1)^3 < 0$, поэтому график $y = |(x + 1)^3|$ является отражением графика $y = (x + 1)^3$ относительно оси Ox.
В результате в точке (-1, 0) образуется "клюв" (точка излома, или касп). Весь график будет расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

Ответ: Для построения графика $y = |x + 1|^3$ нужно построить график $y = (x + 1)^3$, а затем ту часть графика, что лежит ниже оси абсцисс, симметрично отразить относительно этой оси.

23. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < -1 \\ -x - 2, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$ рассмотрим каждую ее часть отдельно.

1. При $x < 0$ график функции совпадает с графиком $y = x^4$. Это левая ветвь параболы четвертой степени. Вычислим координаты нескольких точек:

• при $x = -1$, $y = (-1)^4 = 1$;
• при $x = -2$, $y = (-2)^4 = 16$.

При приближении $x$ к $0$ слева, значения $y$ стремятся к $0$. Точка $(0, 0)$ будет граничной, но "выколотой" для этой части графика.

2. При $x \ge 0$ график функции совпадает с графиком $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная оси $Ox$. Вычислим координаты нескольких точек:

• при $x = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$;
• при $x = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$;
• при $x = 4$, $y = \sqrt{4} = 2$.

Точка $(0, 0)$ принадлежит этой части графика.

Объединив обе части на координатной плоскости, получим график функции $f(x)$. График является непрерывным.

Анализируя построенный график, определим промежутки возрастания и убывания.

• На промежутке $(-\infty, 0)$ значения функции уменьшаются при увеличении $x$, следовательно, функция убывает.
• На промежутке $(0, +\infty)$ значения функции увеличиваются при увеличении $x$, следовательно, функция возрастает.

В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, это точка минимума.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < -1 \\ -x - 2, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$ рассмотрим каждую ее часть отдельно.

1. При $x < -1$ график функции совпадает с графиком $y = x^5$. Это часть кривой, которая возрастает на всей своей области определения. Найдем граничную точку: при $x \to -1$ слева, $y \to (-1)^5 = -1$. Точка $(-1, -1)$ будет "выколотой" для этой части графика. Возьмем еще одну точку для построения: при $x=-2$, $y = (-2)^5 = -32$.

2. При $x \ge -1$ график функции совпадает с графиком $y = -x - 2$. Это линейная функция, ее график — луч. Найдем координаты двух точек:

• при $x = -1$, $y = -(-1) - 2 = 1 - 2 = -1$;
• при $x = 0$, $y = -0 - 2 = -2$.

Точка $(-1, -1)$ является началом этого луча.

Объединив обе части на координатной плоскости, получим график функции $f(x)$. Так как предел функции слева в точке $x = -1$ равен значению функции в этой точке, график является непрерывным.

Анализируя построенный график, определим промежутки возрастания и убывания.

• На промежутке $(-\infty, -1)$ график идет вверх, функция возрастает.
• На промежутке $(-1, +\infty)$ график (луч прямой с отрицательным угловым коэффициентом) идет вниз, функция убывает.

В точке $x=-1$ возрастание сменяется убыванием, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$ и убывает на промежутке $[-1, +\infty)$.