Номер 18, страница 406 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18. Решите неравенство:

1) $\frac{x - 2}{x + 3} \ge \frac{3x - 4}{x + 3}$;

2) $\frac{x - 1}{x} - \frac{x + 1}{x - 1} < 2.$

1) $\frac{x-2}{x+3} \ge \frac{3x-4}{x+3}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не должен равняться нулю, следовательно $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$\frac{x-2}{x+3} - \frac{3x-4}{x+3} \ge 0$

Поскольку знаменатели одинаковы, приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{x-2 - (3x-4)}{x+3} \ge 0$
$\frac{x-2 - 3x+4}{x+3} \ge 0$
$\frac{-2x+2}{x+3} \ge 0$

Разделим обе части неравенства на $-2$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\frac{x-1}{x+3} \le 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=1$ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $x=-3$ исключается (знаменатель не может быть равен нулю). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x-1}{x+3}$ в каждом интервале. В крайнем правом интервале $(1, +\infty)$ при $x=2$ выражение положительно. Так как все корни имеют кратность 1, знаки в интервалах чередуются: $+, -, +$.

Нас интересует промежуток, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это соответствует интервалу со знаком «минус», включая правую границу $x=1$.
Ответ: $x \in (-3, 1]$.

2) $\frac{x-1}{x} - \frac{x+1}{x-1} < 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны равняться нулю, следовательно $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем их к общему знаменателю $x(x-1)$:
$\frac{x-1}{x} - \frac{x+1}{x-1} - 2 < 0$
$\frac{(x-1)(x-1)}{x(x-1)} - \frac{(x+1)x}{x(x-1)} - \frac{2x(x-1)}{x(x-1)} < 0$

Запишем все под одной дробной чертой и упростим числитель:
$\frac{(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + x) - (2x^2 - 2x)}{x(x-1)} < 0$
$\frac{x^2 - 2x + 1 - x^2 - x - 2x^2 + 2x}{x(x-1)} < 0$
$\frac{-2x^2 - x + 1}{x(x-1)} < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{2x^2 + x - 1}{x(x-1)} > 0$

Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$:
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 9$.
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Корни знаменателя: $x=0$ и $x=1$.

Применим метод интервалов. Отметим на числовой прямой все корни в порядке возрастания: -1, 0, 1/2, 1. Все точки выколотые, так как неравенство строгое. Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, 1)$, $(1, +\infty)$.

Определим знаки выражения $\frac{2(x+1)(x - \frac{1}{2})}{x(x-1)}$ на интервалах. На крайнем правом интервале $(1, +\infty)$ выражение положительно. Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются: $+, -, +, -, +$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше нуля ($>0$). Это интервалы со знаком «плюс».
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \frac{1}{2}) \cup (1, +\infty)$.