Номер 16, страница 406 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 6x)(x^2 + 5x - 6) < 0;$

2) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 + 3x + 2) \ge 0;$

3) $4x^3 - 25x < 0;$

4) $\frac{x^3 - 16x}{x^2 - x - 30} < 0;$

5) $(x - 1)(x + 3)^2(x - 2) < 0;$

6) $(2x + 1)^2(x^2 - 4x + 3) > 0;$

7) $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 2) \ge 0;$

8) $(x - 5)(x + 4)(x^2 + 6x + 9) \ge 0.$

1) $(x^2 - 6x)(x^2 + 5x - 6) < 0$

Разложим на множители каждый квадратный трехчлен.
Первый множитель: $x^2 - 6x = x(x - 6)$.
Второй множитель: $x^2 + 5x - 6$. Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а произведение равно $-6$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$. Тогда $x^2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)$.
Неравенство принимает вид:
$x(x - 6)(x - 1)(x + 6) < 0$
Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули (корни) левой части: $x = 0$, $x = 6$, $x = 1$, $x = -6$.
Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-6, 0, 1, 6$. Они разбивают прямую на пять интервалов.
Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(6; +\infty)$, взяв, например, $x=7$:
$7(7 - 6)(7 - 1)(7 + 6) > 0$. Знак "+".
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "−").
Это интервалы $(-6; 0)$ и $(1; 6)$.

Ответ: $x \in (-6; 0) \cup (1; 6)$.

2) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 + 3x + 2) \ge 0$

Разложим на множители каждый квадратный трехчлен.
$x^2 - 4x + 3$. Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.
$x^2 + 3x + 2$. Корни уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = -2$. Тогда $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.
Неравенство принимает вид:
$(x - 1)(x - 3)(x + 1)(x + 2) \ge 0$
Решим методом интервалов. Корни: $1, 3, -1, -2$.
Отметим точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-2, -1, 1, 3$. Так как неравенство нестрогое, точки являются частью решения.
Определим знаки в интервалах. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно. Все корни имеют нечетную кратность (1), поэтому знаки чередуются: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.
Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").
Это интервалы $(-\infty; -2]$, $[-1; 1]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 1] \cup [3; +\infty)$.

3) $4x^3 - 25x < 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(4x^2 - 25) < 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:
$x(2x - 5)(2x + 5) < 0$
Решим методом интервалов. Корни: $x = 0$, $x = 5/2$, $x = -5/2$.
Отметим точки на числовой прямой: $-5/2, 0, 5/2$.
Определим знаки в интервалах. При $x > 5/2$ все множители положительны, знак "+". Знаки чередуются: $-, +, -, +$.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "−").
Это интервалы $(-\infty; -5/2)$ и $(0; 5/2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5/2) \cup (0; 5/2)$.

4) $\frac{x^3 - 16x}{x^2 - x - 30} < 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^3 - 16x = x(x^2 - 16) = x(x - 4)(x + 4)$.
Знаменатель: $x^2 - x - 30$. Корни уравнения $x^2 - x - 30 = 0$ по теореме Виета $x_1=6, x_2=-5$. Тогда $x^2 - x - 30 = (x - 6)(x + 5)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{x(x - 4)(x + 4)}{(x - 6)(x + 5)} < 0$
Применим метод интервалов.
Нули числителя (точки, где выражение равно 0): $x=0, x=4, x=-4$.
Нули знаменателя (точки, где выражение не определено, эти точки всегда "выколотые"): $x=6, x=-5$.
Отметим все точки на числовой прямой: $-5, -4, 0, 4, 6$.
Определим знаки. При $x > 6$ все множители положительны, дробь положительна. Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки чередуются.
Расстановка знаков справа налево: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$, $-$.
Нас интересуют интервалы, где дробь отрицательна (знак "−").

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-4; 0) \cup (4; 6)$.

5) $(x - 1)(x + 3)^2(x - 2) < 0$

Решим методом интервалов. Корни: $x=1$, $x=-3$, $x=2$.
Корень $x=-3$ имеет кратность 2 (четная). Это означает, что при переходе через точку $x=-3$ знак выражения на числовой прямой меняться не будет.
Отметим точки на числовой прямой: $-3, 1, 2$.
Определим знаки. В крайнем правом интервале $(2; +\infty)$ выражение положительно.
Двигаясь справа налево:
- в точке $x=2$ (нечетная кратность) знак меняется на "−".
- в точке $x=1$ (нечетная кратность) знак меняется на "+".
- в точке $x=-3$ (четная кратность) знак не меняется, остается "+".
Расстановка знаков: $+$, $+$, $-$, $+$.
Нас интересует интервал, где выражение строго меньше нуля (знак "−").

Ответ: $x \in (1; 2)$.

6) $(2x + 1)^2(x^2 - 4x + 3) > 0$

Разложим на множители $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
Неравенство принимает вид: $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 3) > 0$.
Множитель $(2x + 1)^2$ всегда неотрицателен ($\ge 0$). Поскольку неравенство строгое ($>0$), этот множитель не может быть равен нулю. Следовательно, $2x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1/2$.
При $x \neq -1/2$, множитель $(2x + 1)^2$ строго положителен, и мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака:
$(x - 1)(x - 3) > 0$.
Решением этого квадратного неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.
Теперь необходимо учесть условие $x \neq -1/2$. Так как точка $-1/2$ входит в интервал $(-\infty; 1)$, мы должны ее исключить.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (-1/2; 1) \cup (3; +\infty)$.

7) $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 2) \ge 0$

Неравенство нестрогое, поэтому левая часть может быть равна нулю или быть больше нуля.
1. Выражение равно нулю при $2x + 1 = 0$ (т.е. $x = -1/2$), $x - 1 = 0$ (т.е. $x = 1$) или $x - 2 = 0$ (т.е. $x = 2$). Эти три значения являются решениями.
2. Выражение строго больше нуля: $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 2) > 0$. При $x \neq -1/2$ множитель $(2x+1)^2$ положителен. Решаем $(x - 1)(x - 2) > 0$. Решение: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.
Объединим решения: к множеству $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$ добавляем точки $x=-1/2$, $x=1$ и $x=2$.
Точка $x=-1/2$ уже находится в интервале $(-\infty; 1)$. Добавление точек $x=1$ и $x=2$ к интервалам $(-\infty; 1)$ и $(2; +\infty)$ соответственно дает нам замкнутые интервалы.
Итоговое решение: $x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

8) $(x - 5)(x + 4)(x^2 + 6x + 9) \ge 0$

Заметим, что выражение $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом: $(x + 3)^2$.
Неравенство принимает вид: $(x - 5)(x + 4)(x + 3)^2 \ge 0$.
Множитель $(x + 3)^2$ всегда неотрицателен ($\ge 0$).
Рассмотрим два случая:
1. Если $(x + 3)^2 = 0$, то есть $x = -3$. В этом случае все выражение равно 0, и неравенство $0 \ge 0$ выполняется. Значит, $x = -3$ является решением.
2. Если $(x + 3)^2 > 0$, то есть $x \neq -3$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $(x + 3)^2$, не меняя знака:
$(x - 5)(x + 4) \ge 0$.
Решением этого квадратного неравенства является множество $x \in (-\infty; -4] \cup [5; +\infty)$.
Объединяем решения из обоих случаев: к множеству $(-\infty; -4] \cup [5; +\infty)$ добавляем изолированную точку $x=-3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup \{-3\} \cup [5; +\infty)$.