Номер 22, страница 406 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22. Постройте график функции:

1) $y = (x + 1)^4$;

2) $y = (x - 1)^3 + 2$;

3) $y = (|x| - 2)^3$;

4) $y = |x + 1|^3$.

1) $y = (x + 1)^4$

Для построения графика функции $y = (x + 1)^4$ воспользуемся методом преобразования графиков.
1. Исходный график - это график степенной функции $y = x^4$. Это четная функция, её график симметричен относительно оси Oy. Он проходит через точки (0, 0), (1, 1), (-1, 1), (2, 16), (-2, 16). График похож на параболу $y=x^2$, но более "плоский" у вершины и круче идет вверх при $|x| > 1$.
2. Функция $y = (x + 1)^4$ получается из функции $y = x^4$ заменой $x$ на $x+1$. Это соответствует преобразованию $f(x) \rightarrow f(x+a)$, где $a=1$. Такое преобразование сдвигает исходный график вдоль оси Ox на $a$ единиц влево.
Таким образом, чтобы построить график функции $y = (x + 1)^4$, нужно сдвинуть график функции $y = x^4$ на 1 единицу влево.
Вершина графика переместится из точки (0, 0) в точку (-1, 0). Ось симметрии сместится с $x=0$ на $x=-1$. Контрольные точки: (-1, 0), (0, 1), (-2, 1).

Ответ: График функции $y = (x + 1)^4$ - это график функции $y = x^4$, сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс.

2) $y = (x - 1)^3 + 2$

Для построения графика функции $y = (x - 1)^3 + 2$ используем последовательные преобразования.
1. Исходный график - это кубическая парабола $y = x^3$. График является нечетной функцией, симметричной относительно начала координат (0, 0). Он проходит через точки (0, 0), (1, 1), (-1, -1), (2, 8), (-2, -8).
2. Первое преобразование: $y = (x - 1)^3$. Это сдвиг графика $y = x^3$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Центр симметрии графика перемещается в точку (1, 0).
3. Второе преобразование: $y = (x - 1)^3 + 2$. Это сдвиг графика $y = (x - 1)^3$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Центр симметрии графика перемещается из точки (1, 0) в точку (1, 2).
Итак, для построения графика нужно взять график $y = x^3$, сдвинуть его на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх.
Центр симметрии графика - точка (1, 2). Контрольные точки: (1, 2), (2, $(2-1)^3+2=3$), (0, $(0-1)^3+2=1$).

Ответ: График функции $y = (x - 1)^3 + 2$ - это график функции $y = x^3$, сдвинутый на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

3) $y = (|x| - 2)^3$

Для построения графика функции $y = (|x| - 2)^3$ используется преобразование $f(x) \rightarrow f(|x|)$. Данная функция является четной, так как $y(-x) = (|-x| - 2)^3 = (|x| - 2)^3 = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси Oy.
Построение можно выполнить в несколько шагов:
1. Построим график вспомогательной функции $g(x) = (x - 2)^3$. Это кубическая парабола $y=x^3$, сдвинутая на 2 единицы вправо. Центр симметрии находится в точке (2, 0).
2. Для получения графика $y = (|x| - 2)^3$ применим правило:
- Для $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, поэтому $y = (x - 2)^3$. В этой области график совпадает с графиком $g(x) = (x - 2)^3$.
- Поскольку функция четная, для $x < 0$ график является зеркальным отражением части графика для $x > 0$ относительно оси Oy.
Таким образом, мы строим график $y = (x-2)^3$ для $x \ge 0$ и затем отражаем его симметрично относительно оси Oy.
Ключевые точки: при $x=0$, $y=(0-2)^3=-8$. Это локальный максимум. Нули функции: $(|x|-2)^3=0 \Rightarrow |x|=2 \Rightarrow x=2$ и $x=-2$.

Ответ: Для построения графика $y = (|x| - 2)^3$ нужно построить график $y = (x - 2)^3$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси Oy.

4) $y = |x + 1|^3$

Заметим, что $|a|^3 = |a^3|$, поэтому функцию можно записать как $y = |(x + 1)^3|$. Для построения этого графика используем преобразование $f(x) \rightarrow |f(x)|$.
Построение выполняется в два шага:
1. Сначала построим график функции $g(x) = (x + 1)^3$. Это кубическая парабола $y=x^3$, сдвинутая на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Центр симметрии находится в точке (-1, 0). График пересекает ось Ox в точке $x = -1$.
2. Теперь применим операцию взятия модуля ко всей функции: $y = |g(x)| = |(x + 1)^3|$. Это преобразование означает, что часть графика $g(x)$, которая находится ниже оси Ox, симметрично отражается вверх относительно оси Ox, а часть, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений.
- Для $x \ge -1$, значение $(x+1)^3 \ge 0$, поэтому график $y = |(x + 1)^3|$ совпадает с графиком $y = (x + 1)^3$.
- Для $x < -1$, значение $(x+1)^3 < 0$, поэтому график $y = |(x + 1)^3|$ является отражением графика $y = (x + 1)^3$ относительно оси Ox.
В результате в точке (-1, 0) образуется "клюв" (точка излома, или касп). Весь график будет расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

Ответ: Для построения графика $y = |x + 1|^3$ нужно построить график $y = (x + 1)^3$, а затем ту часть графика, что лежит ниже оси абсцисс, симметрично отразить относительно этой оси.