Номер 15, страница 406 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = \frac{1-x}{1+x}$

2) $y = \begin{cases} \sqrt{x-2}, \text{ если } x \ge 3, \\ 2x-5, \text{ если } x < 3. \end{cases}$

1) Чтобы найти функцию, обратную к данной $y = \frac{1-x}{1+x}$, необходимо выразить $x$ через $y$.
Сначала определим область определения исходной функции $D(y)$: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $1+x \neq 0$, откуда $x \neq -1$.
Теперь выразим $x$ из уравнения $y = \frac{1-x}{1+x}$:
$y(1+x) = 1-x$
$y + yx = 1-x$
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а остальные — в правую:
$yx + x = 1-y$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(y+1) = 1-y$
Отсюда получаем:
$x = \frac{1-y}{1+y}$
Из этого выражения видно, что область значений исходной функции $E(y)$ определяется условием $y+1 \neq 0$, то есть $y \neq -1$.
Для получения обратной функции поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = \frac{1-x}{1+x}$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, т.е. $x \neq -1$. Интересно, что обратная функция совпала с исходной.
Ответ: $y = \frac{1-x}{1+x}$

2) Нам дана кусочно-заданная функция:$y = \begin{cases} \sqrt{x-2}, & \text{если } x \ge 3 \\ 2x-5, & \text{если } x < 3 \end{cases}$
Чтобы найти обратную функцию, мы должны найти обратную функцию для каждого "куска" отдельно. Для этого также нужно найти область значений для каждого "куска", так как она станет областью определения для соответствующей части обратной функции.

Рассмотрим первую часть: $y = \sqrt{x-2}$ при условии $x \ge 3$.
Найдем область значений для этой части. Если $x \ge 3$, то $x-2 \ge 1$. Следовательно, $\sqrt{x-2} \ge \sqrt{1}$, что означает $y \ge 1$.
Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \sqrt{x-2}$ (учитывая, что $y \ge 0$ по определению арифметического корня):
$y^2 = (\sqrt{x-2})^2$
$y^2 = x-2$
$x = y^2 + 2$
Теперь меняем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию: $y = x^2 + 2$.
Область определения этой части обратной функции — это область значений исходной части, то есть $x \ge 1$.

Рассмотрим вторую часть: $y = 2x-5$ при условии $x < 3$.
Найдем область значений для этой части. Это линейная возрастающая функция. Если $x < 3$, то $2x < 6$, и $2x-5 < 6-5$, что означает $y < 1$.
Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 2x-5$:
$y+5 = 2x$
$x = \frac{y+5}{2}$
Меняем местами $x$ и $y$: $y = \frac{x+5}{2}$.
Область определения этой части обратной функции — это область значений исходной части, то есть $x < 1$.

Объединяем результаты.
Обратная функция имеет вид:
$y = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } x \ge 1 \\ \frac{x+5}{2}, & \text{если } x < 1 \end{cases}$
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } x \ge 1 \\ \frac{x+5}{2}, & \text{если } x < 1 \end{cases}$