Номер 12, страница 405 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12. Постройте график функции:

1) $y = 2\sqrt{3x - 1} + 1;$

2) $y = 4\sqrt{2x - 3} - 1;$

3) $y = 3(2x + 1)^2 - 2;$

4) $y = 2(3x - 1)^2 + 1;$

5) $y = \sqrt{1 - |x|};$

6) $y = \frac{1}{|x| - 4};$

7) $y = \frac{1}{|x + 1| - 3};$

8) $y = (|x + 1| + 2)^2.$

1) $y = 2\sqrt{3x - 1} + 1$

График этой функции можно построить, применяя преобразования к графику базовой функции $y = \sqrt{x}$.
1. Запишем функцию в виде $y = 2\sqrt{3(x - \frac{1}{3})} + 1$.
2. Построение начинается с графика $y = \sqrt{x}$.
3. $y = \sqrt{3x}$: сжатие графика к оси OY в 3 раза.
4. $y = \sqrt{3(x - \frac{1}{3})}$: сдвиг графика вправо на $\frac{1}{3}$ единиц.
5. $y = 2\sqrt{3(x - \frac{1}{3})}$: растяжение графика вдоль оси OY в 2 раза.
6. $y = 2\sqrt{3(x - \frac{1}{3})} + 1$: сдвиг графика вверх на 1 единицу.
Область определения функции: $3x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{3}$.
Начальная точка графика — $(\frac{1}{3}, 1)$.
Для построения найдем еще несколько точек: - если $x = \frac{2}{3}$, то $y = 2\sqrt{3 \cdot \frac{2}{3} - 1} + 1 = 2\sqrt{1} + 1 = 3$. Точка $(\frac{2}{3}, 3)$. - если $x = \frac{5}{3}$, то $y = 2\sqrt{3 \cdot \frac{5}{3} - 1} + 1 = 2\sqrt{4} + 1 = 5$. Точка $(\frac{5}{3}, 5)$.

Ответ: График — ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{1}{3}, 1)$ и проходящая через точки $(\frac{2}{3}, 3)$ и $(\frac{5}{3}, 5)$ вправо и вверх.

2) $y = 4\sqrt{2x - 3} - 1$

График строится преобразованиями функции $y = \sqrt{x}$.
1. Перепишем функцию: $y = 4\sqrt{2(x - \frac{3}{2})} - 1$.
2. Базовая функция $y = \sqrt{x}$.
3. Сжимаем по оси OX в 2 раза ($y = \sqrt{2x}$), сдвигаем вправо на $\frac{3}{2}$ ($y = \sqrt{2(x - \frac{3}{2})}$), растягиваем по оси OY в 4 раза ($y = 4\sqrt{2(x - \frac{3}{2})}$) и сдвигаем вниз на 1 ($y = 4\sqrt{2(x - \frac{3}{2})} - 1$).
Область определения: $2x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{3}{2}$.
Начальная точка графика — $(\frac{3}{2}, -1)$.
Найдем контрольные точки: - если $x = 2$, то $y = 4\sqrt{2 \cdot 2 - 3} - 1 = 4\sqrt{1} - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$. - если $x = \frac{7}{2}$, то $y = 4\sqrt{2 \cdot \frac{7}{2} - 3} - 1 = 4\sqrt{4} - 1 = 7$. Точка $(\frac{7}{2}, 7)$.

Ответ: График — ветвь параболы, начинающаяся в точке $(\frac{3}{2}, -1)$ и идущая вправо и вверх через точки $(2, 3)$ и $(\frac{7}{2}, 7)$.

3) $y = 3(2x + 1)^2 - 2$

Это парабола, график которой можно получить из графика $y = x^2$.
1. Перепишем функцию: $y = 3(2(x + \frac{1}{2}))^2 - 2 = 3 \cdot 4(x + \frac{1}{2})^2 - 2 = 12(x + \frac{1}{2})^2 - 2$.
2. График $y=x^2$ сдвигается влево на $\frac{1}{2}$, растягивается по оси OY в 12 раз и сдвигается вниз на 2.
Вершина параболы находится в точке $(-\frac{1}{2}, -2)$. Ветви направлены вверх.
Найдем точку пересечения с осью OY: при $x=0$, $y = 3(1)^2 - 2 = 1$. Точка $(0, 1)$.
Точка, симметричная точке $(0, 1)$ относительно оси параболы $x = -0.5$, будет $(-1, 1)$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(-\frac{1}{2}, -2)$, ветвями вверх, проходящая через точку $(0, 1)$.

4) $y = 2(3x - 1)^2 + 1$

Это парабола, график которой можно получить из графика $y = x^2$.
1. Перепишем функцию: $y = 2(3(x - \frac{1}{3}))^2 + 1 = 2 \cdot 9(x - \frac{1}{3})^2 + 1 = 18(x - \frac{1}{3})^2 + 1$.
2. График $y=x^2$ сдвигается вправо на $\frac{1}{3}$, растягивается по оси OY в 18 раз и сдвигается вверх на 1.
Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{3}, 1)$. Ветви направлены вверх.
Найдем точку пересечения с осью OY: при $x=0$, $y = 2(-1)^2 + 1 = 3$. Точка $(0, 3)$.
Симметричная точка: $(\frac{2}{3}, 3)$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(\frac{1}{3}, 1)$, ветвями вверх, проходящая через точку $(0, 3)$.

5) $y = \sqrt{1 - |x|}$

1. Область определения: $1 - |x| \geq 0 \Rightarrow |x| \leq 1 \Rightarrow -1 \leq x \leq 1$.
2. Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt{1-|-x|} = \sqrt{1-|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.
3. Рассмотрим случай $x \geq 0$. Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{1-x}$. Это верхняя половина параболы $x=1-y^2$, ветви которой направлены влево.
4. Построим эту часть графика на промежутке $[0, 1]$. Ключевые точки: - при $x=0$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка $(0, 1)$. - при $x=1$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка $(1, 0)$.
5. Отразим построенную часть графика симметрично относительно оси OY, чтобы получить график на промежутке $[-1, 0]$.

Ответ: График представляет собой дугу, соединяющую точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и достигающую максимума в точке $(0, 1)$.

6) $y = \frac{1}{|x| - 4}$

1. Область определения: знаменатель не равен нулю, $|x| - 4 \neq 0 \Rightarrow |x| \neq 4 \Rightarrow x \neq 4$ и $x \neq -4$.
2. Вертикальные асимптоты: $x=4$ и $x=-4$.
3. Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
4. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
5. Построим график для $x \geq 0$, где $y = \frac{1}{x-4}$. Это гипербола, сдвинутая на 4 вправо. - при $x=0, y = -1/4$. Точка $(0, -1/4)$. - при $x \to 4^-$, $y \to -\infty$. - при $x \to 4^+$, $y \to +\infty$.
6. Отразим построенный график относительно оси OY.

Ответ: График имеет три ветви. Две ветви расположены над осью OX при $x > 4$ и $x < -4$, приближаясь к асимптотам $x=4$, $x=-4$ и $y=0$. Третья ветвь находится между асимптотами, имеет форму "перевернутой" параболы с вершиной в точке $(0, -1/4)$ и уходит в $-\infty$ при приближении к асимптотам.

7) $y = \frac{1}{|x + 1| - 3}$

График этой функции можно получить сдвигом графика функции $y = \frac{1}{|x| - 3}$ на 1 единицу влево.
1. Для функции $y = \frac{1}{|x| - 3}$: вертикальные асимптоты $x=\pm 3$, горизонтальная $y=0$, локальный максимум в точке $(0, -1/3)$.
2. Сдвигаем все это на 1 влево: - Вертикальные асимптоты смещаются в $x = 3-1=2$ и $x = -3-1=-4$. - Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте. - Локальный максимум смещается в точку $(0-1, -1/3) = (-1, -1/3)$.
3. Область определения: $|x+1|-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -4$.

Ответ: График, аналогичный графику из пункта 6, но смещенный влево. Вертикальные асимптоты $x=-4$ и $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$. Локальный максимум в точке $(-1, -1/3)$.

8) $y = (|x + 1| + 2)^2$

1. Построим график по частям, раскрывая модуль. Точка "перелома" $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.
2. При $x \geq -1$: $|x+1| = x+1$. Функция принимает вид $y = (x+1+2)^2 = (x+3)^2$. Это парабола с вершиной в $(-3, 0)$. Мы берем только ее правую часть, начиная с $x=-1$. При $x=-1$, $y=(-1+3)^2 = 4$.
3. При $x < -1$: $|x+1| = -(x+1)$. Функция принимает вид $y = (-(x+1)+2)^2 = (-x+1)^2 = (x-1)^2$. Это парабола с вершиной в $(1, 0)$. Мы берем только ее левую часть до $x=-1$. При $x \to -1^-$, $y \to (-1-1)^2 = 4$.
4. График состоит из двух ветвей разных парабол, которые гладко соединяются в точке $(-1, 4)$. Эта точка является точкой минимума (вершиной) всего графика. Область значений: так как $|x+1| \geq 0$, то $|x+1|+2 \geq 2$, следовательно $y = (|x+1|+2)^2 \geq 2^2=4$. $E(y) = [4, +\infty)$.

Ответ: График состоит из двух дуг парабол, образующих "чашу" с вершиной в точке $(-1, 4)$. Для $x \geq -1$ это часть параболы $y=(x+3)^2$, а для $x < -1$ — часть параболы $y=(x-1)^2$. График симметричен относительно прямой $x=-1$.