Номер 6, страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6. Автобусные билеты имеют номера от 000 000 до 999 999. Билет называют «счастливым», если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что:

1) количество всех «счастливых» билетов чётно;

2) сумма номеров всех «счастливых» билетов кратна 999;

3) количество всех «счастливых» билетов равно количеству билетов, сумма цифр которых равна 27.

Пусть номер автобусного билета имеет вид $a_1a_2a_3b_1b_2b_3$, где $a_i$ и $b_i$ — это цифры. Билет является «счастливым», если выполняется условие: $a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2 + b_3$.

1) количество всех «счастливых» билетов чётно;

Рассмотрим «счастливый» билет с номером $N = a_1a_2a_3b_1b_2b_3$. Для него выполняется равенство $a_1+a_2+a_3 = b_1+b_2+b_3$.

Теперь рассмотрим билет с номером $N' = (9-a_1)(9-a_2)(9-a_3)(9-b_1)(9-b_2)(9-b_3)$. Проверим, является ли он «счастливым».

Сумма первых трёх цифр номера $N'$: $(9-a_1) + (9-a_2) + (9-a_3) = 27 - (a_1+a_2+a_3)$.

Сумма последних трёх цифр номера $N'$: $(9-b_1) + (9-b_2) + (9-b_3) = 27 - (b_1+b_2+b_3)$.

Поскольку для билета $N$ было верно $a_1+a_2+a_3 = b_1+b_2+b_3$, то и $27 - (a_1+a_2+a_3) = 27 - (b_1+b_2+b_3)$. Следовательно, билет $N'$ тоже «счастливый».

Таким образом, каждому «счастливому» билету $N$ соответствует «счастливый» билет $N'$.

Заметим, что $N \ne N'$. Если бы $N=N'$, то для каждой цифры выполнялось бы равенство $a_i = 9-a_i$, что означало бы $2a_i=9$, или $a_i=4.5$. Но цифры могут быть только целыми числами. Значит, никакой «счастливый» билет не может быть равен своему «парному» билету.

Все «счастливые» билеты можно разбить на пары $(N, N')$. Поскольку все билеты разбиваются на пары без остатка, их общее количество должно быть чётным.

Ответ: Утверждение доказано.

2) сумма номеров всех «счастливых» билетов кратна 999;

Воспользуемся тем же разбиением на пары $(N, N')$, что и в предыдущем пункте. Найдём сумму номеров в каждой паре.

Номер $N$ можно представить как числовое значение $a_1a_2a_3b_1b_2b_3$.

Номер $N'$ можно представить как числовое значение $(9-a_1)(9-a_2)(9-a_3)(9-b_1)(9-b_2)(9-b_3)$.

Сумма этих двух номеров $N + N'$ равна $999999$. Это легко увидеть, если сложить их столбиком: в каждом разряде сумма цифр равна 9 ($a_i + (9-a_i) = 9$), поэтому переноса разрядов не происходит. $N + N' = 999999$.

Число $999999$ можно представить как $999 \times 1001$. Очевидно, что $999999$ делится на $999$ без остатка.

Общая сумма номеров всех «счастливых» билетов — это сумма всех таких пар. Если количество пар равно $k$, то общая сумма $S$ равна:

$S = k \times 999999 = k \times (999 \times 1001)$.

Эта сумма, очевидно, кратна $999$.

Ответ: Утверждение доказано.

3) количество всех «счастливых» билетов равно количеству билетов, сумма цифр которых равна 27.

Чтобы доказать это, установим взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между множеством «счастливых» билетов и множеством билетов, сумма цифр которых равна 27.

Пусть $L$ — множество «счастливых» билетов, а $D_{27}$ — множество билетов, сумма цифр которых равна 27.

Возьмём произвольный «счастливый» билет $N = a_1a_2a_3b_1b_2b_3 \in L$. Для него $a_1+a_2+a_3 = b_1+b_2+b_3$.

Сопоставим ему билет $M = c_1c_2c_3d_1d_2d_3$ по следующему правилу:

$c_1=a_1, c_2=a_2, c_3=a_3$

$d_1=9-b_1, d_2=9-b_2, d_3=9-b_3$

Таким образом, билет $M$ имеет номер $a_1a_2a_3(9-b_1)(9-b_2)(9-b_3)$.

Найдём сумму цифр билета $M$:

$S(M) = (a_1+a_2+a_3) + ((9-b_1)+(9-b_2)+(9-b_3)) = (a_1+a_2+a_3) + 27 - (b_1+b_2+b_3)$.

Поскольку билет $N$ «счастливый», $a_1+a_2+a_3 = b_1+b_2+b_3$. Подставим это в формулу:

$S(M) = (a_1+a_2+a_3) + 27 - (a_1+a_2+a_3) = 27$.

Значит, построенный билет $M$ принадлежит множеству $D_{27}$. Мы получили отображение из $L$ в $D_{27}$.

Теперь покажем, что это отображение является биекцией. Для этого построим обратное отображение.

Возьмём произвольный билет $M = c_1c_2c_3d_1d_2d_3 \in D_{27}$. Для него $c_1+c_2+c_3+d_1+d_2+d_3=27$.

Сопоставим ему билет $N = a_1a_2a_3b_1b_2b_3$ по правилу:

$a_1=c_1, a_2=c_2, a_3=c_3$

$b_1=9-d_1, b_2=9-d_2, b_3=9-d_3$

Проверим, является ли полученный билет $N$ «счастливым». Для этого сравним суммы его первых и последних трёх цифр:

Сумма первых трёх: $a_1+a_2+a_3 = c_1+c_2+c_3$.

Сумма последних трёх: $b_1+b_2+b_3 = (9-d_1)+(9-d_2)+(9-d_3) = 27 - (d_1+d_2+d_3)$.

Из условия для билета $M$ ($c_1+c_2+c_3+d_1+d_2+d_3=27$) следует, что $c_1+c_2+c_3 = 27 - (d_1+d_2+d_3)$.

Таким образом, $a_1+a_2+a_3 = b_1+b_2+b_3$, и билет $N$ является «счастливым», т.е. $N \in L$.

Мы построили два взаимно обратных отображения между множествами $L$ и $D_{27}$. Это означает, что между ними существует биекция, и, следовательно, количество элементов в этих множествах одинаково.

Ответ: Утверждение доказано.