Номер 52.10, страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

52.10. Докажите, что для любого натурального $n$:

1) $(7^{n+1} + 8^{2n-1}) : 19;$

2) $(7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{2n+1}) : 11.$

1) Докажем, что выражение $(7^{n+1} + 8^{2n-1})$ делится на 19 для любого натурального $n$ методом математической индукции.

База индукции:
Проверим утверждение для $n=1$.
$7^{1+1} + 8^{2 \cdot 1 - 1} = 7^2 + 8^1 = 49 + 8 = 57$.
Поскольку $57 = 3 \cdot 19$, выражение делится на 19 при $n=1$. База индукции верна.

Шаг индукции:
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $(7^{k+1} + 8^{2k-1})$ делится на 19. Это означает, что существует такое целое число $m$, что $7^{k+1} + 8^{2k-1} = 19m$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что $(7^{(k+1)+1} + 8^{2(k+1)-1})$ делится на 19.
Рассмотрим выражение для $n=k+1$:
$7^{k+2} + 8^{2k+1} = 7 \cdot 7^{k+1} + 8^2 \cdot 8^{2k-1} = 7 \cdot 7^{k+1} + 64 \cdot 8^{2k-1}$.
Преобразуем выражение, чтобы использовать индукционное предположение:
$7 \cdot 7^{k+1} + 64 \cdot 8^{2k-1} = 7 \cdot 7^{k+1} + (7+57) \cdot 8^{2k-1} = 7 \cdot 7^{k+1} + 7 \cdot 8^{2k-1} + 57 \cdot 8^{2k-1}$
$= 7(7^{k+1} + 8^{2k-1}) + 57 \cdot 8^{2k-1}$.
Первое слагаемое, $7(7^{k+1} + 8^{2k-1})$, делится на 19 по предположению индукции (так как $7^{k+1} + 8^{2k-1} = 19m$).
Второе слагаемое, $57 \cdot 8^{2k-1}$, также делится на 19, поскольку $57 = 3 \cdot 19$.
Следовательно, вся сумма $7(19m) + (3 \cdot 19) \cdot 8^{2k-1} = 19(7m + 3 \cdot 8^{2k-1})$ делится на 19, так как $m$ и $k$ — целые/натуральные числа, и выражение в скобках является целым числом.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение доказано для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано, что для любого натурального $n$ выражение $(7^{n+1} + 8^{2n-1})$ делится на 19.

2) Докажем, что выражение $(7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1})$ делится на 11 для любого натурального $n$ с помощью теории сравнений (модульной арифметики).

Нам нужно доказать, что $7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1} \equiv 0 \pmod{11}$.

Найдём остатки от деления оснований степеней на 11:
$24 = 2 \cdot 11 + 2 \implies 24 \equiv 2 \pmod{11}$.
$13 = 1 \cdot 11 + 2 \implies 13 \equiv 2 \pmod{11}$.

Подставим эти сравнения в исходное выражение:
$7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1} \equiv 7 \cdot 2^n - 5 \cdot 2^n - 2^{n+1} \pmod{11}$.

Упростим полученное выражение, представив $2^{n+1}$ как $2 \cdot 2^n$:
$7 \cdot 2^n - 5 \cdot 2^n - 2 \cdot 2^n = (7 - 5 - 2) \cdot 2^n = 0 \cdot 2^n = 0$.

Таким образом, мы получили, что $7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1} \equiv 0 \pmod{11}$, что и означает, что исходное выражение делится на 11 для любого натурального числа $n$.

Ответ: Доказано, что для любого натурального $n$ выражение $(7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1})$ делится на 11.