Номер 52.7, страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

52.7. Докажите неравенство $2^n > 2n+1$, где $n \in N, n \ge 3$.

Докажем данное неравенство $2^n > 2n + 1$ для $n \in \mathbb{N}, n \ge 3$ методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции

Проверим истинность утверждения для наименьшего значения $n$ из заданного диапазона, то есть для $n=3$.

Подставляем $n=3$ в неравенство:

$2^3 > 2 \cdot 3 + 1$

$8 > 6 + 1$

$8 > 7$

Неравенство верно. Следовательно, база индукции выполняется.

Шаг 2: Индукционный переход

Предположим, что неравенство верно для некоторого произвольного натурального числа $k$, такого что $k \ge 3$. Это наше индукционное предположение:

$2^k > 2k + 1$

Теперь докажем, что из этого предположения следует истинность неравенства для $n = k+1$. То есть нам нужно доказать, что:

$2^{k+1} > 2(k+1) + 1$

Начнем с левой части этого неравенства и воспользуемся индукционным предположением.

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$

Поскольку по предположению $2^k > 2k + 1$, то, умножив обе части на 2 (знак неравенства не изменится), получим:

$2 \cdot 2^k > 2(2k + 1)$

$2^{k+1} > 4k + 2$

Наша цель — доказать, что $2^{k+1} > 2(k+1) + 1$, что равносильно $2^{k+1} > 2k + 3$.

Мы уже показали, что $2^{k+1} > 4k + 2$. Если мы сможем доказать, что $4k+2 > 2k+3$ для всех $k \ge 3$, то по свойству транзитивности неравенств мы докажем и требуемое утверждение.

Рассмотрим неравенство $4k+2 > 2k+3$:

$4k - 2k > 3 - 2$

$2k > 1$

$k > \frac{1}{2}$

Так как по условию мы рассматриваем $k \ge 3$, то условие $k > \frac{1}{2}$ заведомо выполняется.

Таким образом, для всех $k \ge 3$ верна следующая цепочка неравенств:

$2^{k+1} > 4k+2 > 2k+3$

Из этого напрямую следует, что $2^{k+1} > 2k+3$, или $2^{k+1} > 2(k+1)+1$.

Индукционный переход доказан. Мы показали, что если неравенство верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$.

Заключение

Поскольку база индукции верна (утверждение истинно для $n=3$) и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции неравенство $2^n > 2n + 1$ верно для всех натуральных чисел $n \ge 3$.

Ответ: Неравенство доказано.