gdz.top
Номер 52.8, страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 52. Метод математической индукции - номер 52.8, страница 403.
№52.7
№52.8 (с. 403)
Условие. №52.8 (с. 403)
52.8. Докажите неравенство $3^n > 4n + 1$, где $n \in N, n \ge 3$.
Решение. №52.8 (с. 403)
Для доказательства неравенства $3^n > 4n + 1$ при $n \in \mathbb{N}, n \ge 3$ воспользуемся методом математической индукции.
База индукции:
Проверим истинность утверждения для начального значения $n=3$.
Подставляем $n=3$ в неравенство:
$3^3 > 4 \cdot 3 + 1$
$27 > 12 + 1$
$27 > 13$
Неравенство верно. Таким образом, база индукции установлена.
Индукционный шаг:
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 3$, то есть выполняется $3^k > 4k + 1$. Это наше индукционное предположение.
Теперь докажем, что неравенство также верно для $n = k+1$, то есть нам нужно доказать, что $3^{k+1} > 4(k+1) + 1$.
Рассмотрим левую часть доказываемого неравенства:
$3^{k+1} = 3 \cdot 3^k$
Используя индукционное предположение $3^k > 4k + 1$, получаем:
$3 \cdot 3^k > 3 \cdot (4k + 1)$
$3^{k+1} > 12k + 3$
Чтобы завершить доказательство, нам нужно показать, что полученное выражение $12k + 3$ больше, чем правая часть доказываемого неравенства, то есть $4(k+1) + 1$.
Преобразуем правую часть: $4(k+1) + 1 = 4k + 4 + 1 = 4k + 5$.
Теперь докажем, что $12k + 3 > 4k + 5$ для $k \ge 3$.
$12k - 4k > 5 - 3$
$8k > 2$
$k > \frac{2}{8}$
$k > \frac{1}{4}$
Это неравенство очевидно верно, так как по условию $k \ge 3$.
Следовательно, мы можем составить цепочку неравенств:
$3^{k+1} > 12k + 3 > 4k + 5 = 4(k+1) + 1$
Из этой цепочки следует, что $3^{k+1} > 4(k+1) + 1$.
Индукционный шаг доказан. Так как база индукции и индукционный шаг верны, исходное неравенство доказано для всех натуральных чисел $n \ge 3$.
Ответ: Неравенство $3^n > 4n + 1$ доказано для всех $n \in \mathbb{N}, n \ge 3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 52.8 расположенного на странице 403 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №52.8 (с. 403), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.