Номер 2, страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Укажите равные множества:

$A = \{x \mid x = 6n - 3, n \in N\}$

$B = \{x \mid x = 3n, n \in N\}$

$C = \{x \mid x \text{ кратно 3 и не кратно 2}\}$

$D = \{x \mid x = 6n + 3, n \in N\}$

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Чтобы определить, какие из предложенных множеств равны, проанализируем каждое из них. Будем считать, что $\mathbb{N}$ — это множество натуральных чисел, то есть $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

A. Множество $A = \{x \mid x = 6n - 3, n \in \mathbb{N}\}$.

Найдем первые несколько элементов множества A, подставляя вместо $n$ значения 1, 2, 3 и так далее:

• При $n=1$: $x = 6 \cdot 1 - 3 = 3$
• При $n=2$: $x = 6 \cdot 2 - 3 = 12 - 3 = 9$
• При $n=3$: $x = 6 \cdot 3 - 3 = 18 - 3 = 15$
• При $n=4$: $x = 6 \cdot 4 - 3 = 24 - 3 = 21$

Таким образом, $A = \{3, 9, 15, 21, ...\}$.
Рассмотрим общий вид элементов множества A: $x = 6n - 3 = 3(2n - 1)$. Поскольку $n \in \mathbb{N}$, выражение $2n-1$ последовательно принимает значения $1, 3, 5, ...$, то есть все нечетные натуральные числа. Следовательно, множество A состоит из всех натуральных чисел, являющихся произведением числа 3 на нечетное натуральное число. Это все нечетные числа, кратные 3.

B. Множество $B = \{x \mid x = 3n, n \in \mathbb{N}\}$.

Найдем первые несколько элементов множества B:

• При $n=1$: $x = 3 \cdot 1 = 3$
• При $n=2$: $x = 3 \cdot 2 = 6$
• При $n=3$: $x = 3 \cdot 3 = 9$
• При $n=4$: $x = 3 \cdot 4 = 12$

Таким образом, $B = \{3, 6, 9, 12, ...\}$. Это множество всех натуральных чисел, кратных 3.

C. Множество $C = \{x \mid x \text{ кратно 3 и не кратно 2}\}$.

Это множество состоит из натуральных чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2. Числа, не кратные 2, являются нечетными. Значит, C — это множество всех нечетных натуральных чисел, кратных 3.
Выпишем первые несколько таких чисел: 3, 9, 15, 21, ...
Таким образом, $C = \{3, 9, 15, 21, ...\}$.

D. Множество $D = \{x \mid x = 6n + 3, n \in \mathbb{N}\}$.

Найдем первые несколько элементов множества D:

• При $n=1$: $x = 6 \cdot 1 + 3 = 9$
• При $n=2$: $x = 6 \cdot 2 + 3 = 12 + 3 = 15$
• При $n=3$: $x = 6 \cdot 3 + 3 = 18 + 3 = 21$
• При $n=4$: $x = 6 \cdot 4 + 3 = 24 + 3 = 27$

Таким образом, $D = \{9, 15, 21, 27, ...\}$. Это множество также состоит из нечетных чисел, кратных 3, но наименьший элемент в нем — 9. В этом множестве отсутствует число 3, которое есть в множествах A и C.

Сравнение множеств и вывод

Сравнив полученные множества:

• $A = \{3, 9, 15, 21, ...\}$
• $B = \{3, 6, 9, 12, ...\}$
• $C = \{3, 9, 15, 21, ...\}$
• $D = \{9, 15, 21, 27, ...\}$

Видно, что множества A и C содержат одинаковые элементы. Множество B отличается тем, что содержит четные числа (например, 6). Множество D отличается тем, что не содержит число 3.

Докажем формально, что $A = C$. Для этого нужно показать, что $A \subseteq C$ и $C \subseteq A$.
1. Докажем, что каждый элемент множества A принадлежит множеству C ($A \subseteq C$).
Пусть $x \in A$. Тогда $x = 6n - 3$ для некоторого $n \in \mathbb{N}$.
Можно записать $x = 3(2n - 1)$. Отсюда следует, что $x$ кратно 3.
Также $x = 6n - 3$ является нечетным числом, так как является разностью четного числа $6n$ и нечетного числа 3. Нечетное число не кратно 2.
Таким образом, любой элемент $x$ из A кратен 3 и не кратен 2, а значит $x \in C$.
2. Докажем, что каждый элемент множества C принадлежит множеству A ($C \subseteq A$).
Пусть $y \in C$. Тогда $y$ кратно 3 и $y$ — нечетное натуральное число.
Поскольку $y$ кратно 3, его можно представить в виде $y = 3k$ для некоторого натурального числа $k$.
Поскольку $y$ нечетное, то произведение $3k$ должно быть нечетным, что возможно только если $k$ — нечетное число.
Любое нечетное натуральное число $k$ можно представить в виде $k = 2n - 1$ для некоторого $n \in \mathbb{N}$. (При $n=1$, $k=1$; при $n=2$, $k=3$; и т.д.).
Подставив это в выражение для $y$, получаем: $y = 3k = 3(2n - 1) = 6n - 3$.
Это в точности формула для элементов множества A. Значит, $y \in A$.
Поскольку $A \subseteq C$ и $C \subseteq A$, множества A и C равны.

Ответ: $A = C$.