Номер 9, страница 405 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9. Исследуйте функцию на чётность:

1) $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x};$

2) $f(x) = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1};$

3) $f(x) = \frac{1}{(3x - 1)^7} + \frac{1}{(3x + 1)^7}.$

Для исследования функции $f(x)$ на чётность необходимо выполнить два шага:

1. Проверить, является ли область определения функции $D(f)$ симметричной относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Найти значение $f(-x)$ и сравнить его с $f(x)$.
   • Если $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
   • Если $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
   • Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

1) $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x}$

Сначала найдём область определения функции. Выражения под корнем должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 4 - x \ge 0 \\ 4 + x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -4 \end{cases}$
Таким образом, область определения $D(f) = [-4; 4]$. Этот промежуток симметричен относительно начала координат.

Теперь найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{4 - (-x)} + \sqrt{4 + (-x)} = \sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x}$.
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $f(-x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x} = f(x)$.
Поскольку оба условия выполнены (симметричная область определения и $f(-x) = f(x)$), функция является чётной.
Ответ: чётная функция.

2) $f(x) = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1}$

Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{|5(-x) - 2| + |5(-x) + 2|}{(-x)^2 - 1} = \frac{|-5x - 2| + |-5x + 2|}{x^2 - 1}$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:
$|-5x - 2| = |-(5x + 2)| = |5x + 2|$
$|-5x + 2| = |-(5x - 2)| = |5x - 2|$
Подставим обратно в выражение для $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{|5x + 2| + |5x - 2|}{x^2 - 1} = f(x)$.
Функция является чётной.
Ответ: чётная функция.

3) $f(x) = \frac{1}{(3x - 1)^7} + \frac{1}{(3x + 1)^7}$

Найдём область определения. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$3x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3}$
$3x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{3}$
Область определения $D(f) = (-\infty; -1/3) \cup (-1/3; 1/3) \cup (1/3; \infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{1}{(3(-x) - 1)^7} + \frac{1}{(3(-x) + 1)^7} = \frac{1}{(-3x - 1)^7} + \frac{1}{(-3x + 1)^7}$.
Так как степень нечётная (7), то $(-a)^7 = -a^7$:
$(-3x - 1)^7 = (-(3x + 1))^7 = -(3x + 1)^7$
$(-3x + 1)^7 = (-(3x - 1))^7 = -(3x - 1)^7$
Подставим обратно:
$f(-x) = \frac{1}{-(3x + 1)^7} + \frac{1}{-(3x - 1)^7} = -\frac{1}{(3x + 1)^7} - \frac{1}{(3x - 1)^7} = - \left( \frac{1}{(3x - 1)^7} + \frac{1}{(3x + 1)^7} \right) = -f(x)$.
Функция является нечётной.
Ответ: нечётная функция.