Номер 11, страница 405 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11. Найдите область значений функции:

1) $y = 3x^2 - 2x + 1$;

2) $y = x + \frac{9}{x}$;

3) $y = -3x^2 - x - 2$;

4) $y = \frac{2x}{x^2 - 4}$.

1) $y = 3x^2 - 2x + 1$
Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше нуля ($a=3>0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Область значений такой функции — это множество всех чисел от ординаты вершины параболы до $+\infty$.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае $a=3$, $b=-2$.
$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ордината вершины $y_0$ является минимальным значением функции. Найдем его, подставив $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = y(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) + 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
Таким образом, минимальное значение функции равно $\frac{2}{3}$.
Область значений функции: $[\frac{2}{3}; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = [\frac{2}{3}; +\infty)$.

2) $y = x + \frac{9}{x}$
Для нахождения области значений исследуем функцию с помощью производной. Область определения функции $D(y): x \neq 0$.
Найдем производную функции:
$y' = (x + \frac{9}{x})' = 1 - \frac{9}{x^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$1 - \frac{9}{x^2} = 0 \implies \frac{x^2 - 9}{x^2} = 0 \implies x^2 = 9 \implies x_1 = -3, x_2 = 3$.
Это точки экстремумов. Найдем значения функции в этих точках:
При $x = 3$: $y(3) = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6$.
При $x = -3$: $y(-3) = -3 + \frac{9}{-3} = -3 - 3 = -6$.
Исследуем поведение функции на бесконечности и вблизи точки разрыва $x=0$:
$\lim_{x \to 0^+} (x + \frac{9}{x}) = +\infty$
$\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{9}{x}) = -\infty$
$\lim_{x \to +\infty} (x + \frac{9}{x}) = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} (x + \frac{9}{x}) = -\infty$
Точка $x=3$ является точкой локального минимума, а значение $y=6$ — локальным минимумом. Для $x > 0$ область значений будет $[6; +\infty)$.
Точка $x=-3$ является точкой локального максимума, а значение $y=-6$ — локальным максимумом. Для $x < 0$ область значений будет $(-\infty; -6]$.
Объединяя эти два интервала, получаем область значений всей функции: $(-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$.

3) $y = -3x^2 - x - 2$
Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -3, что меньше нуля ($a=-3<0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз. Область значений такой функции — это множество всех чисел от $-\infty$ до ординаты вершины параболы.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Здесь $a=-3$, $b=-1$.
$x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot (-3)} = -\frac{1}{6}$.
Ордината вершины $y_0$ является максимальным значением функции. Найдем его, подставив $x_0$ в уравнение:
$y_0 = y(-\frac{1}{6}) = -3(-\frac{1}{6})^2 - (-\frac{1}{6}) - 2 = -3 \cdot \frac{1}{36} + \frac{1}{6} - 2 = -\frac{1}{12} + \frac{2}{12} - \frac{24}{12} = \frac{1-24}{12} = -\frac{23}{12}$.
Таким образом, максимальное значение функции равно $-\frac{23}{12}$.
Область значений функции: $(-\infty; -\frac{23}{12}]$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; -\frac{23}{12}]$.

4) $y = \frac{2x}{x^2-4}$
Чтобы найти область значений, выразим $x$ через $y$. Для этого решим уравнение относительно $x$.
$y(x^2 - 4) = 2x$
$yx^2 - 4y = 2x$
$yx^2 - 2x - 4y = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $x$.
Случай 1: $y = 0$.
Уравнение принимает вид $-2x = 0$, откуда $x=0$. Так как $x=0$ входит в область определения исходной функции, то $y=0$ входит в ее область значений.
Случай 2: $y \neq 0$.
Уравнение $yx^2 - 2x - 4y = 0$ является квадратным. Оно имеет действительные корни для $x$ тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(y)(-4y) = 4 + 16y^2$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$4 + 16y^2 \ge 0$.
Поскольку $y^2 \ge 0$ для любого действительного числа $y$, то $16y^2 \ge 0$, и следовательно, $4 + 16y^2 \ge 4$. Неравенство $4 + 16y^2 \ge 0$ выполняется для любого действительного значения $y$.
Это означает, что для любого $y \in \mathbb{R}$ найдется такое $x$, что выполняется исходное равенство. Таким образом, область значений функции — множество всех действительных чисел.
Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.