Номер 17, страница 406 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \ge 0;$

2) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} < 0.$

1) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

1. Найдем корни числителя $x^2 + x - 20 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -20$
Корни равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$.
Таким образом, числитель можно разложить на множители: $x^2 + x - 20 = (x+5)(x-4)$.

2. Разложим на множители знаменатель $x^2 - 6x + 9$.
Это формула квадрата разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

3. Перепишем неравенство в новом виде:
$\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2} \ge 0$

4. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $(x-3)^2 \neq 0 \implies x \neq 3$.

5. Решим неравенство методом интервалов.
Отметим на числовой прямой корни числителя ($x=-5$, $x=4$) закрашенными точками, так как неравенство нестрогое, и корень знаменателя ($x=3$) выколотой точкой, так как он не входит в ОДЗ.
Точки делят прямую на интервалы: $(-\infty, -5]$, $[-5, 3)$, $(3, 4]$, $[4, \infty)$.
Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$. Поэтому знак дроби зависит только от знака числителя $(x+5)(x-4)$.
График функции $y=(x+5)(x-4)$ — это парабола с ветвями вверх, она принимает неотрицательные значения при $x \le -5$ и при $x \ge 4$.
Таким образом, решение неравенства $(x+5)(x-4) \ge 0$ есть объединение промежутков $(-\infty, -5] \cup [4, \infty)$.
Условие $x \neq 3$ выполняется для всех $x$ из этого множества, так как точка 3 не входит в найденные промежутки.

Следовательно, решение исходного неравенства совпадает с решением неравенства $(x+5)(x-4) \ge 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [4, \infty)$.

2) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} < 0$

Используем разложение на множители, полученное в предыдущем пункте:

$\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2} < 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) та же: $x \neq 3$.

Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$. Чтобы дробь была отрицательной, необходимо, чтобы числитель был отрицательным.

Решим неравенство: $(x+5)(x-4) < 0$.

График функции $y=(x+5)(x-4)$ — парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между своими корнями, то есть при $-5 < x < 4$.

Таким образом, решение этого неравенства — интервал $(-5, 4)$.

Теперь учтем ОДЗ: $x \neq 3$. Точка $x=3$ принадлежит интервалу $(-5, 4)$, поэтому ее необходимо исключить из решения.

Исключив точку 3, получаем объединение двух интервалов: $(-5, 3) \cup (3, 4)$.

Ответ: $x \in (-5, 3) \cup (3, 4)$.