Номер 21, страница 406 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $\frac{x-5}{x-a} \ge 0;$

2) $\frac{(x+1)(x-a)}{x+1} \ge 0.$

Решим неравенство $\frac{x-5}{x-a} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя — это точки $x=5$ и $x=a$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Решение зависит от взаимного расположения точек $5$ и $a$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-a \ne 0$, то есть $x \ne a$.

Рассмотрим три случая:

Случай 1: $a < 5$

Точки на числовой оси располагаются в порядке $a$, $5$. Они разбивают ось на интервалы $(-\infty, a)$, $(a, 5)$ и $(5, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, a)$, имеем $x-5 < 0$ и $x-a < 0$, дробь $\frac{-}{-} > 0$.
• При $x \in (a, 5)$, имеем $x-5 < 0$ и $x-a > 0$, дробь $\frac{-}{+} < 0$.
• При $x \in (5, \infty)$, имеем $x-5 > 0$ и $x-a > 0$, дробь $\frac{+}{+} > 0$.

Неравенство является нестрогим ($\ge$), поэтому корень числителя $x=5$ включается в решение. Корень знаменателя $x=a$ исключается. Таким образом, решением является объединение интервалов, где дробь положительна, и точки $x=5$.

Решение: $x \in (-\infty, a) \cup [5, \infty)$.

Случай 2: $a = 5$

Неравенство принимает вид $\frac{x-5}{x-5} \ge 0$.

ОДЗ: $x \ne 5$. При всех $x \ne 5$ левая часть неравенства равна 1. Неравенство $1 \ge 0$ верно для всех $x$ из ОДЗ.

Решение: $x \in (-\infty, 5) \cup (5, \infty)$.

Случай 3: $a > 5$

Точки на числовой оси располагаются в порядке $5$, $a$. Они разбивают ось на интервалы $(-\infty, 5)$, $(5, a)$ и $(a, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, 5)$, имеем $x-5 < 0$ и $x-a < 0$, дробь $\frac{-}{-} > 0$.
• При $x \in (5, a)$, имеем $x-5 > 0$ и $x-a < 0$, дробь $\frac{+}{-} < 0$.
• При $x \in (a, \infty)$, имеем $x-5 > 0$ и $x-a > 0$, дробь $\frac{+}{+} > 0$.

Включаем корень числителя $x=5$ и исключаем корень знаменателя $x=a$.

Решение: $x \in (-\infty, 5] \cup (a, \infty)$.

Ответ: если $a < 5$, то $x \in (-\infty, a) \cup [5, \infty)$;
если $a = 5$, то $x \in (-\infty, 5) \cup (5, \infty)$;
если $a > 5$, то $x \in (-\infty, 5] \cup (a, \infty)$.

Рассмотрим неравенство $\frac{(x+1)(x-a)}{x+1} \ge 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x+1 \ne 0$, откуда $x \ne -1$.

При $x \ne -1$ мы можем сократить дробь на $(x+1)$. Неравенство упрощается до:

$x - a \ge 0$

$x \ge a$

Теперь необходимо совместить полученное решение $x \ge a$ с ОДЗ $x \ne -1$. Это означает, что из множества $[a, \infty)$ нужно исключить точку $-1$, если она туда попадает. Рассмотрим три случая в зависимости от значения $a$.

Случай 1: $a > -1$

Промежуток $[a, \infty)$ состоит из чисел, которые больше или равны $a$. Так как $a > -1$, то все числа из этого промежутка автоматически больше $-1$. Таким образом, точка $x = -1$ не принадлежит промежутку $[a, \infty)$, и никаких исключений делать не нужно.

Решение: $x \in [a, \infty)$.

Случай 2: $a = -1$

Решение $x \ge a$ принимает вид $x \ge -1$. Из этого множества нужно исключить точку $x=-1$ согласно ОДЗ.

Решение: $x > -1$, то есть $x \in (-1, \infty)$.

Случай 3: $a < -1$

Решением является промежуток $[a, \infty)$. Так как $a < -1$, то точка $x = -1$ находится внутри этого промежутка. Следовательно, ее нужно исключить.

Решение: $x \in [a, -1) \cup (-1, \infty)$.

Ответ: если $a < -1$, то $x \in [a, -1) \cup (-1, \infty)$;
если $a = -1$, то $x \in (-1, \infty)$;
если $a > -1$, то $x \in [a, \infty)$.