Номер 23, страница 406 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < -1 \\ -x - 2, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$ рассмотрим каждую ее часть отдельно.

1. При $x < 0$ график функции совпадает с графиком $y = x^4$. Это левая ветвь параболы четвертой степени. Вычислим координаты нескольких точек:

• при $x = -1$, $y = (-1)^4 = 1$;
• при $x = -2$, $y = (-2)^4 = 16$.

При приближении $x$ к $0$ слева, значения $y$ стремятся к $0$. Точка $(0, 0)$ будет граничной, но "выколотой" для этой части графика.

2. При $x \ge 0$ график функции совпадает с графиком $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная оси $Ox$. Вычислим координаты нескольких точек:

• при $x = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$;
• при $x = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$;
• при $x = 4$, $y = \sqrt{4} = 2$.

Точка $(0, 0)$ принадлежит этой части графика.

Объединив обе части на координатной плоскости, получим график функции $f(x)$. График является непрерывным.

Анализируя построенный график, определим промежутки возрастания и убывания.

• На промежутке $(-\infty, 0)$ значения функции уменьшаются при увеличении $x$, следовательно, функция убывает.
• На промежутке $(0, +\infty)$ значения функции увеличиваются при увеличении $x$, следовательно, функция возрастает.

В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, это точка минимума.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < -1 \\ -x - 2, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$ рассмотрим каждую ее часть отдельно.

1. При $x < -1$ график функции совпадает с графиком $y = x^5$. Это часть кривой, которая возрастает на всей своей области определения. Найдем граничную точку: при $x \to -1$ слева, $y \to (-1)^5 = -1$. Точка $(-1, -1)$ будет "выколотой" для этой части графика. Возьмем еще одну точку для построения: при $x=-2$, $y = (-2)^5 = -32$.

2. При $x \ge -1$ график функции совпадает с графиком $y = -x - 2$. Это линейная функция, ее график — луч. Найдем координаты двух точек:

• при $x = -1$, $y = -(-1) - 2 = 1 - 2 = -1$;
• при $x = 0$, $y = -0 - 2 = -2$.

Точка $(-1, -1)$ является началом этого луча.

Объединив обе части на координатной плоскости, получим график функции $f(x)$. Так как предел функции слева в точке $x = -1$ равен значению функции в этой точке, график является непрерывным.

Анализируя построенный график, определим промежутки возрастания и убывания.

• На промежутке $(-\infty, -1)$ график идет вверх, функция возрастает.
• На промежутке $(-1, +\infty)$ график (луч прямой с отрицательным угловым коэффициентом) идет вниз, функция убывает.

В точке $x=-1$ возрастание сменяется убыванием, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$ и убывает на промежутке $[-1, +\infty)$.