Номер 20, страница 406 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20. Решите неравенство $\left|\frac{x}{x^2 - 9}\right| \le \frac{x}{x^2 - 9}$

Данное неравенство имеет вид $|A| \le A$, где $A = \frac{x}{x^2 - 9}$.

По определению, модуль числа $|A|$ всегда неотрицателен, т.е. $|A| \ge 0$. Неравенство $|A| \le A$ может выполняться только в том случае, если $A$ — неотрицательное число. Рассмотрим все возможные случаи:

• Если $A > 0$, то $|A| = A$. Неравенство принимает вид $A \le A$, что является верным тождеством.
• Если $A = 0$, то $|A| = 0$. Неравенство принимает вид $0 \le 0$, что также верно.
• Если $A < 0$, то $|A| = -A$. Неравенство принимает вид $-A \le A$. Так как $A$ — отрицательное число, то $-A$ — положительное. Перенеся $-A$ в правую часть, получим $0 \le 2A$, что равносильно $A \ge 0$. Это противоречит нашему предположению, что $A < 0$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему неравенству:

$$ \frac{x}{x^2 - 9} \ge 0 $$

Для решения этого рационального неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x^2 - 9 \ne 0$

$x^2 \ne 9$

$x \ne 3$ и $x \ne -3$.

2. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x = 0$.

Нули знаменателя: $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) = 0 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 3$.

3. Отметим найденные точки на числовой оси. Точка $x=0$ будет закрашенной (включена в решение), так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точки $x=-3$ и $x=3$ будут выколотыми, так как они обращают знаменатель в ноль.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0]$, $[0; 3)$, $(3; +\infty)$.

4. Определим знак выражения $f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$ в каждом из интервалов.

• Для интервала $(3; +\infty)$ возьмем $x=4$: $f(4) = \frac{4}{4^2-9} = \frac{4}{7} > 0$. Ставим знак «+».
• Для интервала $(0; 3)$ возьмем $x=1$: $f(1) = \frac{1}{1^2-9} = \frac{1}{-8} < 0$. Ставим знак «−».
• Для интервала $(-3; 0)$ возьмем $x=-1$: $f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2-9} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8} > 0$. Ставим знак «+».
• Для интервала $(-\infty; -3)$ возьмем $x=-4$: $f(-4) = \frac{-4}{(-4)^2-9} = \frac{-4}{7} < 0$. Ставим знак «−».

5. Выберем интервалы, которые удовлетворяют условию $\frac{x}{x^2 - 9} \ge 0$. Это интервалы со знаком «+», а также точка, где выражение равно нулю.

Решением являются промежутки, где выражение положительно, и точка, где оно равно нулю.

$x \in (-3; 0] \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; 0] \cup (3; +\infty)$.