Номер 24, страница 407 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24. Дана функция $f(x) = x^{-19}$. Сравните:

1) $f(1,6)$ и $f(2)$;

2) $f(-5,6)$ и $f(-6,5)$;

3) $f(-9,6)$ и $f(9,6)$;

4) $f(0,1)$ и $f(-10)$.

Для решения данной задачи проанализируем свойства функции $f(x) = x^{-19}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{19}}$.

Свойства функции:

1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x^{19} \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Четность/нечетность. Показатель степени 19 — нечетное число. Проверим функцию на нечетность: $f(-x) = (-x)^{-19} = \frac{1}{(-x)^{19}} = \frac{1}{-x^{19}} = - \frac{1}{x^{19}} = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
3. Монотонность. Для определения интервалов возрастания и убывания найдем производную функции: $f'(x) = (x^{-19})' = -19 \cdot x^{-20} = -\frac{19}{x^{20}}$. Поскольку $x^{20}$ всегда положительно для любого $x \neq 0$ (четная степень), то $f'(x) = -\frac{19}{x^{20}}$ всегда отрицательна ($f'(x) < 0$) на всей области определения. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Используя эти свойства, сравним значения функции в заданных точках.

1) f(1,6) и f(2);
Аргументы 1,6 и 2 принадлежат интервалу $(0; +\infty)$, на котором функция $f(x)$ строго убывает. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
Сравним аргументы: $1,6 < 2$.
Так как функция убывает, то значение функции в меньшей точке будет больше, чем значение функции в большей точке.
Следовательно, $f(1,6) > f(2)$.

Ответ: $f(1,6) > f(2)$.

2) f(-5,6) и f(-6,5);
Аргументы -5,6 и -6,5 принадлежат интервалу $(-\infty; 0)$, на котором функция $f(x)$ также строго убывает.
Сравним аргументы: $-5,6 > -6,5$.
Поскольку функция убывает на этом интервале, для $x_1 > x_2$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$.
Следовательно, $f(-5,6) < f(-6,5)$.

Ответ: $f(-5,6) < f(-6,5)$.

3) f(-9,6) и f(9,6);
Как было установлено, функция $f(x) = x^{-19}$ является нечетной, то есть $f(-x) = -f(x)$.
Поэтому $f(-9,6) = -f(9,6)$.
Теперь нам нужно сравнить $-f(9,6)$ и $f(9,6)$.
Найдем знак $f(9,6)$. Так как $9,6 > 0$, то $9,6^{19} > 0$, и, следовательно, $f(9,6) = \frac{1}{9,6^{19}} > 0$.
Значит, $f(9,6)$ — положительное число, а $f(-9,6) = -f(9,6)$ — отрицательное число.
Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Следовательно, $f(-9,6) < f(9,6)$.

Ответ: $f(-9,6) < f(9,6)$.

4) f(0,1) и f(-10).
Рассмотрим знаки значений функции для данных аргументов.
Аргумент $0,1$ является положительным числом ($0,1 > 0$). Для любого $x > 0$, значение $x^{19}$ будет положительным, а значит и $f(x) = \frac{1}{x^{19}}$ будет положительным. Таким образом, $f(0,1) > 0$.
Аргумент $-10$ является отрицательным числом ($-10 < 0$). Для любого $x < 0$, значение $x^{19}$ будет отрицательным (так как 19 — нечетное число), а значит и $f(x) = \frac{1}{x^{19}}$ будет отрицательным. Таким образом, $f(-10) < 0$.
Сравнивая положительное число $f(0,1)$ и отрицательное число $f(-10)$, мы можем заключить, что положительное число всегда больше отрицательного.
Следовательно, $f(0,1) > f(-10)$.

Ответ: $f(0,1) > f(-10)$.