Номер 28, страница 407 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ на промежутке:

1) $[1; 2];$

2) $[-1; 1];$

3) $(-\infty; -1].$

Дана функция $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$. На промежутке $[1; 2]$ переменная $x$ принимает только положительные значения, поэтому $|x| = x$. Таким образом, функция на этом промежутке имеет вид $f(x) = \sqrt[4]{x}$.

Функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ является возрастающей на всей своей области определения, включая промежуток $[1; 2]$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в его левой границе, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(1) = \sqrt[4]{1} = 1$.

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(2) = \sqrt[4]{2}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $1$, наибольшее значение равно $\sqrt[4]{2}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ на промежутке $[-1; 1]$.

Функция является четной, так как $f(-x) = \sqrt[4]{|-x|} = \sqrt[4]{|x|} = f(x)$.

При $x \ge 0$, функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ возрастает. При $x < 0$, функция $f(x) = \sqrt[4]{-x}$ убывает.

Следовательно, в точке $x=0$ функция достигает своего глобального минимума. Так как точка $x=0$ принадлежит промежутку $[-1; 1]$, наименьшее значение функции на этом промежутке равно значению в этой точке.

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(0) = \sqrt[4]{0} = 0$.

Наибольшее значение на отрезке достигается на его концах, так как на интервале $(-1, 1)$ нет точек локального максимума. Вычислим значения функции в точках $x=-1$ и $x=1$.

$f(-1) = \sqrt[4]{|-1|} = \sqrt[4]{1} = 1$.

$f(1) = \sqrt[4]{|1|} = \sqrt[4]{1} = 1$.

Таким образом, наибольшее значение равно $1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $0$, наибольшее значение равно $1$.

На промежутке $(-\infty; -1]$ переменная $x$ принимает только отрицательные значения, поэтому $|x| = -x$. Функция на этом промежутке имеет вид $f(x) = \sqrt[4]{-x}$.

Эта функция является убывающей на промежутке $(-\infty; 0]$, а значит и на промежутке $(-\infty; -1]$. Это означает, что для любых $x_1, x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Следовательно, наименьшее значение на промежутке $(-\infty; -1]$ функция принимает в его крайней правой точке, то есть при $x = -1$.

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(-1) = \sqrt[4]{|-1|} = 1$.

Так как промежуток неограничен слева, рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[4]{|x|} = +\infty$.

Поскольку функция не ограничена сверху на данном промежутке, наибольшего значения у неё не существует.

Ответ: наименьшее значение функции равно $1$, наибольшего значения не существует.