Номер 27, страница 407 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[3]{x-2} - 2$;

2) $y = \sqrt[3]{|x-1|}$;

3) $y = \sqrt[4]{|x| + 1}$;

4) $y = |\sqrt[4]{x+2} - 2|$.

1) $y = \sqrt[3]{x-2} - 2$
Для построения графика этой функции воспользуемся методом преобразования графиков, взяв за основу график функции $y = \sqrt[3]{x}$.
1. Строим базовый график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это кубический корень, график которого проходит через точки (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).
2. Преобразуем его в график функции $y = \sqrt[3]{x-2}$. Это сдвиг базового графика на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Теперь "центр" графика (точка перегиба) находится в точке (2, 0).
3. Преобразуем полученный график в $y = \sqrt[3]{x-2} - 2$. Это сдвиг графика $y = \sqrt[3]{x-2}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Точка перегиба смещается в (2, -2).
Ключевые точки для построения:

• Точка перегиба: (2, -2).
• Пересечение с осью Oy (x=0): $y = \sqrt[3]{0-2} - 2 = \sqrt[3]{-2} - 2 \approx -1.26 - 2 = -3.26$. Точка $(0, -3.26)$.
• Пересечение с осью Ox (y=0): $0 = \sqrt[3]{x-2} - 2 \Rightarrow \sqrt[3]{x-2} = 2 \Rightarrow x-2 = 8 \Rightarrow x=10$. Точка (10, 0).
• Дополнительная точка: при x=3, $y = \sqrt[3]{3-2} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка (3, -1).
• Дополнительная точка: при x=1, $y = \sqrt[3]{1-2} - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка (1, -3).

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x-2} - 2$ является графиком функции $y=\sqrt[3]{x}$, смещенным на 2 единицы вправо и на 2 единицы вниз.

2) $y = \sqrt[3]{|x-1|}$
Построение этого графика также основано на преобразованиях базового графика $y = \sqrt[3]{x}$.
1. Сначала рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{x-1}$. Её график получается сдвигом графика $y = \sqrt[3]{x}$ на 1 единицу вправо.
2. Теперь применим модуль к аргументу: $y = \sqrt[3]{|x-1|}$. Это преобразование означает, что:

• Для $x \ge 1$, где $x-1 \ge 0$, график совпадает с $y = \sqrt[3]{x-1}$.
• Для $x < 1$, где $x-1 < 0$, часть графика $y = \sqrt[3]{x-1}$ (которая находилась бы левее прямой $x=1$) отбрасывается, а вместо нее строится зеркальное отражение правой части ($x \ge 1$) относительно вертикальной прямой $x=1$.

В результате график становится симметричным относительно прямой $x=1$ и имеет "клюв" (точку излома) в точке (1, 0).
Ключевые точки для построения:

• Точка излома (вершина): (1, 0).
• При x=2, $y = \sqrt[3]{|2-1|} = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка (2, 1).
• Из-за симметрии, при x=0, $y = \sqrt[3]{|0-1|} = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка (0, 1).
• При x=9, $y = \sqrt[3]{|9-1|} = \sqrt[3]{8} = 2$. Точка (9, 2).
• Из-за симметрии, при x=-7, $y = \sqrt[3]{|-7-1|} = \sqrt[3]{8} = 2$. Точка (-7, 2).

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{|x-1|}$ симметричен относительно прямой $x=1$, имеет точку излома в (1,0) и состоит из двух ветвей, идущих вверх.

3) $y = \sqrt[4]{|x|} + 1$
Базовой функцией является $y = \sqrt[4]{x}$, которая определена для $x \ge 0$.
1. Строим график функции $y = \sqrt[4]{|x|}$. Так как под корнем стоит $|x|$, функция становится чётной и её область определения расширяется до всех действительных чисел. График для $x \ge 0$ совпадает с графиком $y = \sqrt[4]{x}$, а для $x < 0$ он является зеркальным отражением части для $x > 0$ относительно оси Oy. График имеет точку излома в (0, 0).
2. Далее строим график $y = \sqrt[4]{|x|} + 1$. Он получается из предыдущего графика сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Точка излома смещается в (0, 1).
Ключевые точки для построения:

• Точка излома (минимум функции): (0, 1).
• При x=1, $y = \sqrt[4]{|1|} + 1 = 1+1=2$. Точка (1, 2).
• При x=-1, $y = \sqrt[4]{|-1|} + 1 = 1+1=2$. Точка (-1, 2).
• При x=16, $y = \sqrt[4]{|16|} + 1 = 2+1=3$. Точка (16, 3).
• При x=-16, $y = \sqrt[4]{|-16|} + 1 = 2+1=3$. Точка (-16, 3).

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{|x|} + 1$ симметричен относительно оси Oy, имеет точку минимума (излом) в точке (0,1) и представляет собой график $y = \sqrt[4]{x}$, отраженный относительно оси Oy и смещенный на 1 единицу вверх.

4) $y = |\sqrt[4]{x+2} - 2|$
Для построения этого графика выполним последовательность преобразований.
1. Построим сначала график вспомогательной функции $g(x) = \sqrt[4]{x+2} - 2$. Область определения: $x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$.

• График $y=\sqrt[4]{x}$ сдвигаем на 2 единицы влево, получаем $y=\sqrt[4]{x+2}$. Начальная точка (0,0) переходит в (-2,0).
• Затем сдвигаем график на 2 единицы вниз, получаем $g(x) = \sqrt[4]{x+2} - 2$. Начальная точка переходит в (-2, -2).

2. Теперь строим график исходной функции $y = |g(x)| = |\sqrt[4]{x+2} - 2|$. Это означает, что вся часть графика $g(x)$, которая находится ниже оси Ox, зеркально отражается вверх относительно оси Ox. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений.

• Найдем точку пересечения графика $g(x)$ с осью Ox: $\sqrt[4]{x+2} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt[4]{x+2} = 2 \Rightarrow x+2=16 \Rightarrow x=14$. Точка (14, 0).
• Начальная точка графика $g(x)$ была (-2, -2). После взятия модуля по $y$ она станет (-2, |-2|) = (-2, 2).
• Вся часть графика от $x=-2$ до $x=14$, которая была под осью, теперь будет над осью. Точка (14, 0) является точкой излома.

Ключевые точки для построения:

• Начальная точка: (-2, 2).
• Точка излома на оси Ox: (14, 0).
• Пересечение с осью Oy (x=0): $y = |\sqrt[4]{0+2} - 2| = |\sqrt[4]{2}-2| \approx |1.19 - 2| = |-0.81| = 0.81$. Точка (0, 0.81).
• Дополнительная точка: при x=-1, $y = |\sqrt[4]{-1+2} - 2| = |1-2| = 1$. Точка (-1, 1).

Ответ: График функции $y = |\sqrt[4]{x+2} - 2|$ определен при $x \ge -2$, начинается в точке (-2, 2), убывает до точки (14, 0) на оси Ox, а затем возрастает.