Номер 25, страница 407 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25. Функция задана формулой $f(x) = x^{-16}$. Сравните:

1) $f(1,6)$ и $f(2,2)$;

2) $f(-4,5)$ и $f(-3,6)$;

3) $f(-3,4)$ и $f(3,4)$;

4) $f(-18)$ и $f(3)$.

Функция задана формулой $f(x) = x^{-16}$. Эту формулу можно записать в виде дроби: $f(x) = \frac{1}{x^{16}}$.

Для сравнения значений функции в разных точках, проанализируем ее ключевые свойства.

Свойство 1: Четность функции.
Показатель степени $16$ является четным числом. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции ($x \neq 0$) выполняется равенство $(-x)^{16} = x^{16}$.
Следовательно, $f(-x) = (-x)^{-16} = \frac{1}{(-x)^{16}} = \frac{1}{x^{16}} = f(x)$.
Функция $f(x)$ является четной. Это означает, что $f(-a) = f(a)$ для любого $a \neq 0$.

Свойство 2: Монотонность функции.
Поведение функции зависит от знака аргумента.
1. На промежутке $(0; +\infty)$: Если взять два положительных числа $x_1$ и $x_2$ так, что $x_1 < x_2$, то, поскольку возведение в положительную степень является возрастающей функцией для положительных оснований, $x_1^{16} < x_2^{16}$. При делении единицы на эти числа знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{1}{x_1^{16}} > \frac{1}{x_2^{16}}$, то есть $f(x_1) > f(x_2)$. Таким образом, на промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает.
2. На промежутке $(-\infty; 0)$: Если взять два отрицательных числа $x_1$ и $x_2$ так, что $x_1 < x_2$ (например, $-5 < -2$), то их модули будут находиться в обратном соотношении: $|x_1| > |x_2|$. Поскольку степень $16$ четная, $x^{16} = |x|^{16}$. Следовательно, $x_1^{16} = |x_1|^{16} > |x_2|^{16} = x_2^{16}$. Опять же, при делении единицы на эти числа знак неравенства меняется: $\frac{1}{x_1^{16}} < \frac{1}{x_2^{16}}$, то есть $f(x_1) < f(x_2)$. Таким образом, на промежутке $(-\infty; 0)$ функция возрастает.

Используя эти свойства, сравним заданные значения.

1) f(1,6) и f(2,2)
Аргументы $1,6$ и $2,2$ оба положительны, то есть принадлежат промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция убывает.
Поскольку $1,6 < 2,2$, то по свойству убывающей функции $f(1,6) > f(2,2)$.
Ответ: $f(1,6) > f(2,2)$.

2) f(-4,5) и f(-3,6)
Аргументы $-4,5$ и $-3,6$ оба отрицательны, то есть принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция возрастает.
Поскольку $-4,5 < -3,6$, то по свойству возрастающей функции $f(-4,5) < f(-3,6)$.
Ответ: $f(-4,5) < f(-3,6)$.

3) f(-3,4) и f(3,4)
Функция $f(x) = x^{-16}$ является четной. По определению четной функции, $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения.
Следовательно, для $x=3,4$ получаем $f(-3,4) = f(3,4)$.
Ответ: $f(-3,4) = f(3,4)$.

4) f(-18) и f(3)
Воспользуемся свойством четности функции, чтобы упростить сравнение: $f(-18) = f(18)$.
Теперь задача сводится к сравнению $f(18)$ и $f(3)$.
Оба аргумента, $18$ и $3$, принадлежат промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция убывает.
Так как $3 < 18$, для убывающей функции выполняется неравенство $f(3) > f(18)$.
Заменив $f(18)$ на равное ему $f(-18)$, получаем $f(3) > f(-18)$.
Ответ: $f(-18) < f(3)$.