Номер 34, страница 407 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34. Вычислите значение выражения:

1) $\frac{10000^{0,4} \cdot 10^{0,5}}{100^{0,3} \cdot 1000^{\frac{1}{6}}}$;

2) $\left(\frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{5}{6}}}{21^{-1} \cdot 5^3}\right)^{-6}$.

1) Преобразуем все числа в выражении к основанию 10: $10000 = 10^4$; $100 = 10^2$; $1000 = 10^3$.
Подставим эти значения в исходное выражение: $\frac{10000^{0,4} \cdot 10^{0,5}}{100^{0,3} \cdot 1000^{\frac{1}{6}}} = \frac{(10^4)^{0,4} \cdot 10^{0,5}}{(10^2)^{0,3} \cdot (10^3)^{\frac{1}{6}}}$.
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $\frac{10^{4 \cdot 0,4} \cdot 10^{0,5}}{10^{2 \cdot 0,3} \cdot 10^{3 \cdot \frac{1}{6}}} = \frac{10^{1,6} \cdot 10^{0,5}}{10^{0,6} \cdot 10^{0,5}}$.
Сократим общий множитель $10^{0,5}$ в числителе и знаменателе: $\frac{10^{1,6}}{10^{0,6}}$.
Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $10^{1,6 - 0,6} = 10^1 = 10$.
Ответ: 10

2) Рассмотрим выражение $\left( \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{5}{6}}}{21^{-1} \cdot 5^{\frac{1}{3}}} \right)^{-6}$.
Сначала упростим числитель, используя свойство $a^m \cdot b^m = (ab)^m$: $3^{\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{5}{6}} = (3 \cdot 7)^{\frac{5}{6}} = 21^{\frac{5}{6}}$.
Теперь выражение выглядит так: $\left( \frac{21^{\frac{5}{6}}}{21^{-1} \cdot 5^{\frac{1}{3}}} \right)^{-6}$.
Упростим частное степеней с основанием 21, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{21^{\frac{5}{6}}}{21^{-1}} = 21^{\frac{5}{6} - (-1)} = 21^{\frac{5}{6} + 1} = 21^{\frac{5+6}{6}} = 21^{\frac{11}{6}}$.
Подставим обратно в выражение: $\left( \frac{21^{\frac{11}{6}}}{5^{\frac{1}{3}}} \right)^{-6}$.
Применим свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, а затем $(a^m)^n = a^{mn}$: $\frac{(21^{\frac{11}{6}})^{-6}}{(5^{\frac{1}{3}})^{-6}} = \frac{21^{\frac{11}{6} \cdot (-6)}}{5^{\frac{1}{3} \cdot (-6)}} = \frac{21^{-11}}{5^{-2}}$.
Используем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $\frac{5^2}{21^{11}} = \frac{25}{21^{11}}$.
Ответ: $\frac{25}{21^{11}}$