Номер 36, страница 408 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36. Решите уравнение:

1) $x = \sqrt{x+5} + 1;$

2) $3\sqrt{x+10} - 11 = 2x.$

1) $x = \sqrt{x+5} + 1$

Сначала изолируем радикал (корень), перенеся 1 в левую часть уравнения:

$x - 1 = \sqrt{x+5}$

Теперь определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, левая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Кроме того, выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Возведем обе части уравнения $x - 1 = \sqrt{x+5}$ в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(x - 1)^2 = (\sqrt{x+5})^2$

$x^2 - 2x + 1 = x + 5$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - x + 1 - 5 = 0$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 3$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -4$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 1$).

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 1$, значит, он является решением уравнения.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, так как $-1 < 1$. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: 4

2) $3\sqrt{x+10} - 11 = 2x$

Изолируем радикал, перенеся -11 в правую часть уравнения:

$3\sqrt{x+10} = 2x + 11$

Определим ОДЗ. Выражение под корнем и правая часть уравнения (которая равна выражению с корнем, умноженным на 3) должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} x+10 \ge 0 \\ 2x+11 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -10 \\ 2x \ge -11 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -10 \\ x \ge -5.5 \end{cases}$

Из этих двух условий следует, что ОДЗ: $x \ge -5.5$.

Возведем обе части уравнения $3\sqrt{x+10} = 2x + 11$ в квадрат:

$(3\sqrt{x+10})^2 = (2x + 11)^2$

$9(x+10) = 4x^2 + 2 \cdot 2x \cdot 11 + 11^2$

$9x + 90 = 4x^2 + 44x + 121$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 + 44x - 9x + 121 - 90 = 0$

$4x^2 + 35x + 31 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4 \cdot 4 \cdot 31 = 1225 - 496 = 729$

$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 + 27}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 - 27}{2 \cdot 4} = \frac{-62}{8} = -\frac{31}{4} = -7.75$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -5.5$).

Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию $-1 \ge -5.5$, следовательно, является решением.

Корень $x_2 = -7.75$ не удовлетворяет условию $-7.75 \ge -5.5$, следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: -1