Номер 43, страница 408 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3x - x^2} < 4 - x;$

2) $\sqrt{x^2 + 3x + 3} < 2x + 1;$

3) $\sqrt{2 - x} > x;$

4) $\sqrt{x^2 - 1} > x.$

1) $\sqrt{3x - x^2} < 4 - x$

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение неотрицательно, правая часть неравенства положительна, и квадрат левой части меньше квадрата правой.

$\begin{cases} 3x - x^2 \ge 0, \\ 4 - x > 0, \\ 3x - x^2 < (4 - x)^2. \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. $3x - x^2 \ge 0 \implies x(3 - x) \ge 0$.
Корни уравнения $x(3-x)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=3$. Ветви параболы $y = 3x - x^2$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями: $0 \le x \le 3$.

2. $4 - x > 0 \implies x < 4$.

3. $3x - x^2 < (4 - x)^2 \implies 3x - x^2 < 16 - 8x + x^2 \implies 2x^2 - 11x + 16 > 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 - 11x + 16$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16 = 121 - 128 = -7$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=2 > 0$, то трехчлен $2x^2 - 11x + 16$ положителен при любых значениях $x$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in [0; 3]$, $x \in (-\infty; 4)$ и $x \in (-\infty; +\infty)$.
Пересечением этих множеств является промежуток $[0; 3]$.

Ответ: $[0; 3]$.

2) $\sqrt{x^2 + 3x + 3} < 2x + 1$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 3x + 3 \ge 0, \\ 2x + 1 > 0, \\ x^2 + 3x + 3 < (2x + 1)^2. \end{cases}$

Решим каждое неравенство.

1. $x^2 + 3x + 3 \ge 0$.
Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + 3x + 3$ всегда положительно. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -1/2$.

3. $x^2 + 3x + 3 < (2x + 1)^2 \implies x^2 + 3x + 3 < 4x^2 + 4x + 1 \implies 3x^2 + x - 2 > 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.
$x_1 = \frac{-1 - 5}{6} = -1$, $x_2 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 + x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней: $x \in (-\infty; -1) \cup (2/3; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty; +\infty)$, $x \in (-1/2; +\infty)$ и $x \in (-\infty; -1) \cup (2/3; +\infty)$.
Пересечением является интервал $(2/3; +\infty)$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

3) $\sqrt{2 - x} > x$

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем.

Первый случай: правая часть отрицательна. Неравенство будет верным для всех $x$, при которых подкоренное выражение определено.

$\begin{cases} x < 0, \\ 2 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0, \\ x \le 2 \end{cases} \implies x < 0$.

Второй случай: правая часть неотрицательна. В этом случае можно возвести обе части неравенства в квадрат.

$\begin{cases} x \ge 0, \\ 2 - x > x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0, \\ x^2 + x - 2 < 0 \end{cases}$.
Решим второе неравенство: $x^2 + x - 2 < 0$. Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $-2 < x < 1$.
С учетом условия $x \ge 0$, получаем решение для второго случая: $0 \le x < 1$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях: $x < 0$ и $0 \le x < 1$.
Объединением является промежуток $(-\infty; 1)$.

Ответ: $(-\infty; 1)$.

4) $\sqrt{x^2 - 1} > x$

Неравенство равносильно совокупности двух систем.

Первый случай: правая часть отрицательна, а левая часть (корень) определена и неотрицательна.

$\begin{cases} x < 0, \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0, \\ (x-1)(x+1) \ge 0 \end{cases}$.
Решение второго неравенства: $x \le -1$ или $x \ge 1$.
Пересекая с условием $x < 0$, получаем решение для первого случая: $x \le -1$.

Второй случай: правая часть неотрицательна, можно возвести обе части в квадрат.

$\begin{cases} x \ge 0, \\ x^2 - 1 > x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0, \\ -1 > 0 \end{cases}$.
Второе неравенство, $-1 > 0$, является ложным. Следовательно, эта система не имеет решений.

Объединяя решения обоих случаев (решение первого случая и пустое множество второго), получаем окончательное решение.

Ответ: $(-\infty; -1]$.