Номер 44, страница 408 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \leq 0;$

2) $(x - 12)\sqrt{x - 3} \leq 0.$

1) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \le 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 4 \ge 0$

Разложим на множители: $(x - 2)(x + 2) \ge 0$.

Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь рассмотрим исходное неравенство. Произведение двух множителей меньше или равно нулю. Множитель $\sqrt{x^2 - 4}$ по определению арифметического квадратного корня всегда неотрицателен (больше или равен нулю) в своей области определения.

Следовательно, неравенство выполняется в двух случаях:

1. Произведение равно нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю (и при этом $x$ входит в ОДЗ).

• $\sqrt{x^2 - 4} = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = -2$ или $x = 2$. Оба этих значения входят в ОДЗ, следовательно, являются решениями.
• $x^2 - 1 = 0 \implies x = -1$ или $x = 1$. Эти значения не входят в ОДЗ, поэтому не являются решениями.

2. Произведение строго меньше нуля. Поскольку множитель $\sqrt{x^2 - 4}$ не может быть отрицательным, этот случай возможен, только если $\sqrt{x^2 - 4} > 0$ и одновременно $x^2 - 1 < 0$.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x^2 - 1 < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 > 4 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 < 1 \implies -1 < x < 1$, или $x \in (-1, 1)$.

Теперь найдем пересечение решений системы: $((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \cap (-1, 1) = \emptyset$. Система не имеет решений.

Объединяя результаты из двух случаев, мы видим, что неравенство выполняется только в точках, где левая часть равна нулю.

Ответ: $x \in \{-2, 2\}$.

2) $(x - 12)\sqrt{x - 3} \le 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 3 \ge 0$

$x \ge 3$

ОДЗ: $x \in [3, \infty)$.

В области допустимых значений множитель $\sqrt{x - 3}$ всегда неотрицателен. Поэтому знак всего произведения зависит от знака первого множителя $(x - 12)$.

Неравенство $(x - 12)\sqrt{x - 3} \le 0$ выполняется, если:

1. Выражение равно нулю. Это происходит, когда $\sqrt{x - 3} = 0$ или $x - 12 = 0$.

• $\sqrt{x - 3} = 0 \implies x = 3$. Это значение входит в ОДЗ.
• $x - 12 = 0 \implies x = 12$. Это значение входит в ОДЗ.

Таким образом, $x = 3$ и $x = 12$ являются решениями.

2. Выражение строго меньше нуля. Поскольку $\sqrt{x - 3} > 0$ (случай равенства нулю уже рассмотрен, он дает $x > 3$), для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $(x - 12)$ был отрицателен:

$x - 12 < 0 \implies x < 12$.

Теперь нужно учесть ОДЗ ($x \ge 3$) и условие $x > 3$. Получаем систему:

$\begin{cases} x > 3 \\ x < 12 \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $x \in (3, 12)$.

Объединяем все найденные решения: точки $x=3$, $x=12$ и интервал $(3, 12)$. В результате получаем отрезок $[3, 12]$.

Ответ: $x \in [3, 12]$.