Номер 51, страница 409 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

51. Докажите, что функция $f(x) = \cos(\sqrt{x})^2$ не является периодической.

Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = \cos(\sqrt{x})^2$ (что то же самое, что и $f(x) = \cos^2(\sqrt{x})$) не является периодической, воспользуемся методом доказательства от противного.

Сначала определим область определения функции. Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, область определения функции: $x \ge 0$, то есть $D(f) = [0, \infty)$.

Предположим, что функция $f(x)$ является периодической с некоторым периодом $T > 0$. Согласно определению периодической функции, для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$.

Рассмотрим нули функции, то есть значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю:$f(x) = \cos^2(\sqrt{x}) = 0$. Это уравнение равносильно уравнению $\cos(\sqrt{x}) = 0$.

Решением этого уравнения являются значения, для которых аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, мы должны рассматривать только неотрицательные значения, поэтому $k$ может быть $0, 1, 2, \ldots$.$\sqrt{x_k} = \frac{\pi}{2} + k\pi$

Возводя обе части уравнения в квадрат, мы получаем последовательность нулей функции:$x_k = \left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^2 = \pi^2\left(k + \frac{1}{2}\right)^2$, для $k = 0, 1, 2, \ldots$

Если функция периодическая, то расстояния между ее последовательными однотипными точками (в данном случае, нулями) должны быть постоянными или образовывать некоторую повторяющуюся последовательность. Найдем расстояние между двумя соседними нулями $x_{k+1}$ и $x_k$:

$d_k = x_{k+1} - x_k = \pi^2\left((k+1) + \frac{1}{2}\right)^2 - \pi^2\left(k + \frac{1}{2}\right)^2$$d_k = \pi^2\left[\left(k + \frac{3}{2}\right)^2 - \left(k + \frac{1}{2}\right)^2\right]$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$d_k = \pi^2\left[\left(k + \frac{3}{2} - k - \frac{1}{2}\right)\left(k + \frac{3}{2} + k + \frac{1}{2}\right)\right]$$d_k = \pi^2\left[1 \cdot (2k+2)\right] = 2\pi^2(k+1)$

Как видно из полученной формулы, расстояние $d_k$ между соседними нулями зависит от их номера $k$ и не является постоянной величиной. Например:

• При $k=0$: расстояние между первым и вторым нулями $d_0 = x_1 - x_0 = 2\pi^2(0+1) = 2\pi^2$
• При $k=1$: расстояние между вторым и третьим нулями $d_1 = x_2 - x_1 = 2\pi^2(1+1) = 4\pi^2$
• При $k=2$: расстояние между третьим и четвертым нулями $d_2 = x_3 - x_2 = 2\pi^2(2+1) = 6\pi^2$

Расстояния между последовательными нулями функции различны и увеличиваются с ростом $k$. Это означает, что не существует единого числа $T$, которое могло бы служить периодом. Наше первоначальное предположение о периодичности функции приводит к противоречию.

Следовательно, функция $f(x) = \cos^2(\sqrt{x})$ не является периодической.

Ответ: Доказано, что функция не является периодической, так как расстояния между ее последовательными нулями не являются постоянными.