Страница 409 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

46. При каких значениях $a$ возможно равенство $\cos x = a^2 - 3$?

Данное равенство $\cos x = a^2 - 3$ возможно только в том случае, если его правая часть, то есть выражение $a^2 - 3$, принадлежит области значений функции косинус.

Область значений тригонометрической функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ должно выполняться двойное неравенство:

$-1 \le \cos x \le 1$

Заменим $\cos x$ на равное ему выражение $a^2 - 3$, чтобы найти допустимые значения параметра $a$:

$-1 \le a^2 - 3 \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} a^2 - 3 \ge -1 \\ a^2 - 3 \le 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решаем первое неравенство:

$a^2 - 3 \ge -1$

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$a^2 \ge 2$

Решением этого неравенства являются все значения $a$, модуль которых больше или равен $\sqrt{2}$. Это соответствует объединению двух промежутков:

$a \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$

2. Решаем второе неравенство:

$a^2 - 3 \le 1$

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$a^2 \le 4$

Решением этого неравенства являются все значения $a$, модуль которых меньше или равен 2. Это соответствует отрезку:

$a \in [-2; 2]$

Для нахождения окончательного решения необходимо найти пересечение (общую часть) множеств решений обоих неравенств:

$(-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$ и $[-2; 2]$

Пересечение этих множеств дает нам два отрезка: от $-2$ до $-\sqrt{2}$ и от $\sqrt{2}$ до $2$.

Таким образом, искомые значения параметра $a$ принадлежат объединению этих отрезков.

Ответ: $a \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

47. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения

$2\cos\alpha + 3\sin\alpha - \frac{2\cos^2\alpha}{\cos\alpha}$

Рассмотрим данное выражение: $2\cos\alpha + 3\sin\alpha - \frac{2\cos^2\alpha}{\cos\alpha}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому: $\cos\alpha \neq 0$ Это условие выполняется для всех углов $\alpha$, кроме $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.

Теперь упростим выражение, учитывая ОДЗ. Так как $\cos\alpha \neq 0$, мы можем сократить дробь: $\frac{2\cos^2\alpha}{\cos\alpha} = 2\cos\alpha$

Подставив это в исходное выражение, получим: $2\cos\alpha + 3\sin\alpha - 2\cos\alpha = 3\sin\alpha$

Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $y = 3\sin\alpha$ с ограничением $\cos\alpha \neq 0$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений выражения $3\sin\alpha$ без ограничений — это отрезок $[-3, 3]$.

Проверим, достигаются ли граничные значения с учетом нашего ограничения.

Наибольшее значение $3$ для выражения $3\sin\alpha$ достигалось бы при $\sin\alpha = 1$. Это происходит при $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Однако при этих значениях $\alpha$, $\cos\alpha = 0$, что не входит в ОДЗ. Следовательно, значение $3$ не достигается.

Наименьшее значение $-3$ для выражения $3\sin\alpha$ достигалось бы при $\sin\alpha = -1$. Это происходит при $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. При этих значениях $\alpha$ также $\cos\alpha = 0$, что противоречит ОДЗ. Следовательно, значение $-3$ также не достигается.

Поскольку значения $\sin\alpha=1$ и $\sin\alpha=-1$ исключены, множество значений для $\sin\alpha$ представляет собой интервал $(-1, 1)$. Соответственно, множество значений для всего выражения — это интервал $(-3, 3)$.

В открытом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего элемента. Выражение может принимать значения, сколь угодно близкие к $3$ и к $-3$, но никогда не достигает этих граничных значений.

Ответ: Наибольшего и наименьшего значений у данного выражения не существует.

48. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x};$

2) $f(x) = x^3 + \cos x;$

3) $f(x) = \frac{(x^2 - 1)\text{ctg } x}{x^2 - 1}.$

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия:

1. Симметричность области определения $D(f)$ относительно начала координат (если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Выполнение одного из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ (функция чётная).
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ (функция нечётная).

Если ни одно из равенств не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной.

1) $f(x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $1 + \cos x \neq 0$, что означает $\cos x \neq -1$. Следовательно, $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{\pi + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$ симметрична относительно начала координат, так как если $x_0 \neq \pi + 2\pi k$, то и $-x_0 \neq \pi + 2\pi m$ для любых целых $k$ и $m$.

2. Найдём значение функции в точке $-x$: $f(-x) = \frac{1 - \cos(-x)}{1 + \cos(-x)}$.

3. Используем свойство чётности косинуса: $\cos(-x) = \cos x$.

$f(-x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = f(x)$.

4. Так как область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

2) $f(x) = x^3 + \cos x$

1. Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа). Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции в точке $-x$: $f(-x) = (-x)^3 + \cos(-x)$.

3. Используем свойства степенной функции с нечётным показателем ($(-x)^3 = -x^3$) и чётности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$):

$f(-x) = -x^3 + \cos x$.

4. Сравним полученное выражение с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = -x^3 + \cos x \neq f(x)$, так как $-x^3 + \cos x \neq x^3 + \cos x$ (кроме $x=0$).

$-f(x) = -(x^3 + \cos x) = -x^3 - \cos x$.

$f(-x) = -x^3 + \cos x \neq -f(x)$, так как $-x^3 + \cos x \neq -x^3 - \cos x$ (кроме точек, где $\cos x = 0$).

Поскольку ни условие чётности, ни условие нечётности не выполняются для всех $x$ из области определения, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

3) $f(x) = \frac{(x^2 - 1)\operatorname{ctg} x}{x^2 - 1}$

1. Найдём область определения функции. Во-первых, знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 1$. Во-вторых, функция котангенса $\operatorname{ctg} x$ определена при условии, что $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1, \pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$ является симметричной относительно начала координат.

2. На области определения $x^2 - 1 \neq 0$, поэтому функцию можно упростить:

$f(x) = \operatorname{ctg} x$.

3. Найдём значение функции в точке $-x$: $f(-x) = \operatorname{ctg}(-x)$.

4. Используем свойство нечётности котангенса: $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$.

$f(-x) = -\operatorname{ctg} x = -f(x)$.

5. Так как область определения симметрична и $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

49. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 420^\circ $;

2) $ \cos 405^\circ $;

3) $ \operatorname{tg} 765^\circ $.

Для нахождения значений тригонометрических функций от углов, превышающих $360°$, используется свойство периодичности этих функций. Период для синуса и косинуса составляет $360°$, а для тангенса — $180°$. Это означает, что значение функции повторяется через каждый полный оборот (или пол-оборота для тангенса).

1) sin 420°

Воспользуемся свойством периодичности функции синус: $\sin(\alpha + 360° \cdot k) = \sin(\alpha)$, где $k$ — любое целое число.

Представим угол $420°$ в виде суммы, выделив полный оборот $360°$:

$420° = 360° + 60°$

Следовательно, значение синуса можно найти следующим образом:

$\sin(420°) = \sin(360° + 60°) = \sin(60°)$

Значение $\sin(60°)$ является табличным:

$\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) cos 405°

Воспользуемся свойством периодичности функции косинус: $\cos(\alpha + 360° \cdot k) = \cos(\alpha)$, где $k$ — любое целое число.

Представим угол $405°$ в виде суммы, выделив полный оборот $360°$:

$405° = 360° + 45°$

Таким образом, значение косинуса равно:

$\cos(405°) = \cos(360° + 45°) = \cos(45°)$

Значение $\cos(45°)$ является табличным:

$\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3) tg 765°

Воспользуемся свойством периодичности функции тангенс: $\text{tg}(\alpha + 180° \cdot k) = \text{tg}(\alpha)$, где $k$ — любое целое число. Также можно использовать период, кратный $180°$, например $360°$.

Представим угол $765°$, выделив целое число оборотов по $360°$:

$765° = 2 \cdot 360° + 45° = 720° + 45°$

Следовательно, значение тангенса можно найти так:

$\text{tg}(765°) = \text{tg}(2 \cdot 360° + 45°) = \text{tg}(45°)$

Значение $\text{tg}(45°)$ является табличным:

$\text{tg}(45°) = 1$

Ответ: $1$

50. Найдите главный период функции:

1) $f(x) = \cos(3x + 1);$

2) $f(x) = \operatorname{ctg}(-7x + 2);$

3) $f(x) = \cos \pi x.$

1) $f(x) = \cos(3x + 1)$

Главный (наименьший положительный) период функции $\cos(x)$ равен $2\pi$. Для функции вида $f(x) = A \cos(kx + b) + C$ главный период $T$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае, для функции $f(x) = \cos(3x + 1)$, коэффициент при $x$ равен $k = 3$. Следовательно, главный период функции равен:

$T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

2) $f(x) = \text{ctg}(-7x + 2)$

Главный период функции $\text{ctg}(x)$ равен $\pi$. Для функции вида $f(x) = A \text{ctg}(kx + b) + C$ главный период $T$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае, для функции $f(x) = \text{ctg}(-7x + 2)$, коэффициент при $x$ равен $k = -7$. Следовательно, главный период функции равен:

$T = \frac{\pi}{|-7|} = \frac{\pi}{7}$

Ответ: $\frac{\pi}{7}$

3) $f(x) = \cos(\pi x)$

Главный период функции $\cos(x)$ равен $2\pi$. Для функции вида $f(x) = A \cos(kx + b) + C$ главный период $T$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае, для функции $f(x) = \cos(\pi x)$, коэффициент при $x$ равен $k = \pi$. Следовательно, главный период функции равен:

$T = \frac{2\pi}{|\pi|} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$

Ответ: $2$

51. Докажите, что функция $f(x) = \cos(\sqrt{x})^2$ не является периодической.

Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = \cos(\sqrt{x})^2$ (что то же самое, что и $f(x) = \cos^2(\sqrt{x})$) не является периодической, воспользуемся методом доказательства от противного.

Сначала определим область определения функции. Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, область определения функции: $x \ge 0$, то есть $D(f) = [0, \infty)$.

Предположим, что функция $f(x)$ является периодической с некоторым периодом $T > 0$. Согласно определению периодической функции, для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$.

Рассмотрим нули функции, то есть значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю:$f(x) = \cos^2(\sqrt{x}) = 0$. Это уравнение равносильно уравнению $\cos(\sqrt{x}) = 0$.

Решением этого уравнения являются значения, для которых аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, мы должны рассматривать только неотрицательные значения, поэтому $k$ может быть $0, 1, 2, \ldots$.$\sqrt{x_k} = \frac{\pi}{2} + k\pi$

Возводя обе части уравнения в квадрат, мы получаем последовательность нулей функции:$x_k = \left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^2 = \pi^2\left(k + \frac{1}{2}\right)^2$, для $k = 0, 1, 2, \ldots$

Если функция периодическая, то расстояния между ее последовательными однотипными точками (в данном случае, нулями) должны быть постоянными или образовывать некоторую повторяющуюся последовательность. Найдем расстояние между двумя соседними нулями $x_{k+1}$ и $x_k$:

$d_k = x_{k+1} - x_k = \pi^2\left((k+1) + \frac{1}{2}\right)^2 - \pi^2\left(k + \frac{1}{2}\right)^2$$d_k = \pi^2\left[\left(k + \frac{3}{2}\right)^2 - \left(k + \frac{1}{2}\right)^2\right]$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$d_k = \pi^2\left[\left(k + \frac{3}{2} - k - \frac{1}{2}\right)\left(k + \frac{3}{2} + k + \frac{1}{2}\right)\right]$$d_k = \pi^2\left[1 \cdot (2k+2)\right] = 2\pi^2(k+1)$

Как видно из полученной формулы, расстояние $d_k$ между соседними нулями зависит от их номера $k$ и не является постоянной величиной. Например:

• При $k=0$: расстояние между первым и вторым нулями $d_0 = x_1 - x_0 = 2\pi^2(0+1) = 2\pi^2$
• При $k=1$: расстояние между вторым и третьим нулями $d_1 = x_2 - x_1 = 2\pi^2(1+1) = 4\pi^2$
• При $k=2$: расстояние между третьим и четвертым нулями $d_2 = x_3 - x_2 = 2\pi^2(2+1) = 6\pi^2$

Расстояния между последовательными нулями функции различны и увеличиваются с ростом $k$. Это означает, что не существует единого числа $T$, которое могло бы служить периодом. Наше первоначальное предположение о периодичности функции приводит к противоречию.

Следовательно, функция $f(x) = \cos^2(\sqrt{x})$ не является периодической.

Ответ: Доказано, что функция не является периодической, так как расстояния между ее последовательными нулями не являются постоянными.

52. Найдите период функции $f(x) = \tan \frac{4\pi x}{9} + \cot \frac{9\pi x}{4}$.

Чтобы найти период функции $f(x) = \operatorname{tg}\frac{4\pi x}{9} + \operatorname{ctg}\frac{9\pi x}{4}$, необходимо найти периоды каждого слагаемого, а затем найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Нахождение периода первого слагаемого

Первое слагаемое — это функция $f_1(x) = \operatorname{tg}\frac{4\pi x}{9}$.

Основной период функции $y = \operatorname{tg}(x)$ равен $\pi$. Период функции вида $y = \operatorname{tg}(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.

В данном случае коэффициент $k_1 = \frac{4\pi}{9}$.

Следовательно, период $T_1$ равен:

$T_1 = \frac{\pi}{|k_1|} = \frac{\pi}{\frac{4\pi}{9}} = \pi \cdot \frac{9}{4\pi} = \frac{9}{4}$.

Нахождение периода второго слагаемого

Второе слагаемое — это функция $f_2(x) = \operatorname{ctg}\frac{9\pi x}{4}$.

Основной период функции $y = \operatorname{ctg}(x)$ также равен $\pi$. Период функции вида $y = \operatorname{ctg}(kx+b)$ находится по той же формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.

В данном случае коэффициент $k_2 = \frac{9\pi}{4}$.

Следовательно, период $T_2$ равен:

$T_2 = \frac{\pi}{|k_2|} = \frac{\pi}{\frac{9\pi}{4}} = \pi \cdot \frac{4}{9\pi} = \frac{4}{9}$.

Нахождение наименьшего общего периода

Период $T$ исходной функции $f(x)$ является наименьшим общим кратным (НОК) периодов $T_1 = \frac{9}{4}$ и $T_2 = \frac{4}{9}$.

$T = \text{НОК}(\frac{9}{4}, \frac{4}{9})$.

Для нахождения НОК двух дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ используется формула: $\text{НОК}(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}) = \frac{\text{НОК}(a, c)}{\text{НОД}(b, d)}$, где НОД — наибольший общий делитель.

В нашем случае $a=9, b=4, c=4, d=9$.

Найдем НОК числителей: $\text{НОК}(9, 4) = 36$.

Найдем НОД знаменателей: $\text{НОД}(4, 9) = 1$.

Подставим найденные значения в формулу:

$T = \frac{\text{НОК}(9, 4)}{\text{НОД}(4, 9)} = \frac{36}{1} = 36$.

Ответ: $36$.

53. Расположите числа в порядке возрастания:

1) $ \sin 3,2 $, $ \sin 4 $, $ \sin 3,6 $, $ \sin 2,4 $, $ \sin 1,8 $;

2) $ \cos 3,5 $, $ \cos 4,8 $, $ \cos 6,1 $, $ \cos 5,6 $, $ \cos 4,2 $.

1) Чтобы расположить числа $\sin 3,2$, $\sin 4$, $\sin 3,6$, $\sin 2,4$, $\sin 1,8$ в порядке возрастания, проанализируем поведение функции $y=\sin(x)$ на единичной окружности. Аргументы синуса даны в радианах. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,14$; $\pi/2 \approx 1,57$; $3\pi/2 \approx 4,71$.
Определим, в каких четвертях находятся углы:
- Углы $1,8$ и $2,4$ находятся во второй четверти, так как $\pi/2 < 1,8 < \pi$ и $\pi/2 < 2,4 < \pi$. В этой четверти функция синус положительна и убывает. Поскольку $1,8 < 2,4$, то $\sin 1,8 > \sin 2,4 > 0$.
- Углы $3,2$, $3,6$ и $4$ находятся в третьей четверти, так как $\pi < 3,2 < 3\pi/2$, $\pi < 3,6 < 3\pi/2$ и $\pi < 4 < 3\pi/2$. В этой четверти функция синус отрицательна и убывает. Поскольку $3,2 < 3,6 < 4$, то $0 > \sin 3,2 > \sin 3,6 > \sin 4$.
Таким образом, у нас есть две группы чисел: положительные ($\sin 1,8$, $\sin 2,4$) и отрицательные ($\sin 3,2$, $\sin 3,6$, $\sin 4$).
Сопоставляя все значения, получаем общую последовательность в порядке возрастания: самое большое по модулю отрицательное число, затем менее отрицательные, затем меньшее положительное и, наконец, большее положительное.
Получаем порядок: $\sin 4, \sin 3,6, \sin 3,2, \sin 2,4, \sin 1,8$.
Ответ: $\sin 4, \sin 3,6, \sin 3,2, \sin 2,4, \sin 1,8$.

2) Чтобы расположить числа $\cos 3,5$, $\cos 4,8$, $\cos 6,1$, $\cos 5,6$, $\cos 4,2$ в порядке возрастания, проанализируем поведение функции $y=\cos(x)$ на единичной окружности. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,14$; $3\pi/2 \approx 4,71$; $2\pi \approx 6,28$.
Определим, в каких четвертях находятся углы:
- Углы $3,5$ и $4,2$ находятся в третьей четверти, так как $\pi < 3,5 < 3\pi/2$ и $\pi < 4,2 < 3\pi/2$. В этой четверти функция косинус отрицательна и возрастает. Поскольку $3,5 < 4,2$, то $\cos 3,5 < \cos 4,2 < 0$.
- Углы $4,8$, $5,6$ и $6,1$ находятся в четвертой четверти, так как $3\pi/2 < 4,8 < 2\pi$, $3\pi/2 < 5,6 < 2\pi$ и $3\pi/2 < 6,1 < 2\pi$. В этой четверти функция косинус положительна и возрастает. Поскольку $4,8 < 5,6 < 6,1$, то $0 < \cos 4,8 < \cos 5,6 < \cos 6,1$.
Соединяя отрицательные и положительные значения, получаем итоговую последовательность в порядке возрастания. Сначала идут отрицательные числа в порядке их возрастания, затем положительные.
Получаем порядок: $\cos 3,5, \cos 4,2, \cos 4,8, \cos 5,6, \cos 6,1$.
Ответ: $\cos 3,5, \cos 4,2, \cos 4,8, \cos 5,6, \cos 6,1$.

54. Постройте график функции:

1) $y = \sin x + \sin|x|$;

2) $y = \operatorname{tg} x \cos x$.

1)

Рассмотрим функцию $y = \sin x + \sin|x|$.
Для построения графика этой функции необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$
При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = \sin x + \sin x = 2\sin x$.
Таким образом, для всех неотрицательных значений $x$ (справа от оси OY, включая саму ось) график совпадает с графиком функции $y = 2\sin x$. Это синусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси OY. Ее амплитуда равна 2, а период $2\pi$.

Случай 2: $x < 0$
При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = \sin x + \sin(-x)$.
Так как синус является нечетной функцией, $\sin(-x) = -\sin x$. Тогда:
$y = \sin x - \sin x = 0$.
Следовательно, для всех отрицательных значений $x$ (слева от оси OY) график функции представляет собой луч, совпадающий с отрицательной частью оси OX.

Итоговый график:
Объединяя оба случая, получаем график, который при $x < 0$ является прямой $y=0$ (часть оси абсцисс), а при $x \ge 0$ совпадает с графиком функции $y = 2\sin x$. В точке $x=0$ оба участка графика сходятся в значении $y=0$.

Ответ: График функции представляет собой луч $y=0$ для $x < 0$ и график функции $y = 2\sin x$ для $x \ge 0$.

2)

Рассмотрим функцию $y = \operatorname{tg}x \cos x$.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Функция $\operatorname{tg}x$ определена не для всех $x$. Она не определена в точках, где $\cos x = 0$.
$\cos x = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, область определения нашей функции: $x \in \mathbb{R}$, $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Упрощение выражения.
На всей области определения функции можно выполнить преобразование, используя определение тангенса $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x$.

3. Построение графика.
График функции $y = \operatorname{tg}x \cos x$ совпадает с графиком функции $y = \sin x$ во всех точках, кроме тех, которые не входят в область определения. В этих точках на графике будут "выколотые" (пустые) точки.
Найдем координаты этих выколотых точек:
$x_k = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Значения функции $y = \sin x$ в этих точках:
$y_k = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k)$.
Рассмотрим несколько значений $k$:
- при $k=0, x = \frac{\pi}{2}, y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Выколотая точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$.
- при $k=1, x = \frac{3\pi}{2}, y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Выколотая точка $(\frac{3\pi}{2}, -1)$.
- при $k=-1, x = -\frac{\pi}{2}, y = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Выколотая точка $(-\frac{\pi}{2}, -1)$.
В общем виде, координаты выколотых точек $(\frac{\pi}{2} + \pi k, (-1)^k)$. Таким образом, выколотые точки находятся на вершинах и впадинах синусоиды.

Ответ: График функции представляет собой синусоиду $y = \sin x$ с выколотыми точками вида $(\frac{\pi}{2} + \pi k, (-1)^k)$ для всех целых $k$.

55. Возможно ли равенство:

1) $\sin \alpha = \frac{2}{3} \operatorname{tg} 80^{\circ}$;

2) $\cos \alpha = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{18}$;

3) $\cos \alpha = \operatorname{tg} \frac{\pi}{9}$?

1) $sin \alpha = \frac{2}{3} \text{tg} 80^\circ$

Для того чтобы данное равенство было возможно, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции синус, то есть отрезку $[-1, 1]$. Это означает, что должно выполняться условие $|\frac{2}{3} \text{tg} 80^\circ| \le 1$.

Оценим значение выражения $\frac{2}{3} \text{tg} 80^\circ$. Угол $80^\circ$ находится в первой координатной четверти, поэтому $\text{tg} 80^\circ > 0$.

Функция тангенса возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Сравним $\text{tg} 80^\circ$ со значением тангенса известного угла, например, $60^\circ$. Мы знаем, что $\text{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$.

Поскольку $80^\circ > 60^\circ$, то $\text{tg} 80^\circ > \text{tg} 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$.

Теперь оценим всю правую часть равенства: $\frac{2}{3} \text{tg} 80^\circ > \frac{2}{3} \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Поскольку $\sqrt{3} > 1.5$, то $\frac{2}{3} \sqrt{3} > \frac{2}{3} \cdot 1.5 = 1$.

Таким образом, $\frac{2}{3} \text{tg} 80^\circ > 1$. Значение синуса не может быть больше 1, следовательно, такое равенство невозможно.

Ответ: невозможно.

2) $\cos \alpha = \text{ctg} \frac{\pi}{18}$

Для того чтобы данное равенство было возможно, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1, 1]$. Это означает, что должно выполняться условие $|\text{ctg} \frac{\pi}{18}| \le 1$.

Оценим значение выражения $\text{ctg} \frac{\pi}{18}$. Сначала переведем радианы в градусы: $\frac{\pi}{18} = \frac{180^\circ}{18} = 10^\circ$.

Угол $10^\circ$ находится в первой координатной четверти, поэтому $\text{ctg} 10^\circ > 0$.

Функция котангенса убывает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Сравним $\text{ctg} 10^\circ$ со значением котангенса известного угла, например, $30^\circ$. Мы знаем, что $\text{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}$.

Поскольку $10^\circ < 30^\circ$, то $\text{ctg} 10^\circ > \text{ctg} 30^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$.

Таким образом, $\text{ctg} \frac{\pi}{18} > 1$. Значение косинуса не может быть больше 1, следовательно, такое равенство невозможно.

Ответ: невозможно.

3) $\cos \alpha = \text{tg} \frac{\pi}{9}$

Для того чтобы данное равенство было возможно, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1, 1]$. Это означает, что должно выполняться условие $|\text{tg} \frac{\pi}{9}| \le 1$.

Оценим значение выражения $\text{tg} \frac{\pi}{9}$. Сначала переведем радианы в градусы: $\frac{\pi}{9} = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$.

Угол $20^\circ$ находится в первой координатной четверти, поэтому $\text{tg} 20^\circ > 0$.

Функция тангенса возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Мы знаем, что $\text{tg} 0^\circ = 0$ и $\text{tg} 45^\circ = 1$.

Поскольку $0^\circ < 20^\circ < 45^\circ$, то $\text{tg} 0^\circ < \text{tg} 20^\circ < \text{tg} 45^\circ$, что означает $0 < \text{tg} 20^\circ < 1$.

Так как значение $\text{tg} \frac{\pi}{9}$ находится в интервале $(0, 1)$, оно принадлежит области значений функции косинус $[-1, 1]$. Следовательно, существует такой угол $\alpha$, для которого данное равенство выполняется.

Ответ: возможно.

56. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha - 1} + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha$;

2) $(\operatorname{tg} \alpha \cos \alpha)^2 + (\operatorname{ctg} \alpha \sin \alpha)^2$;

3) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha$;

4) $(\operatorname{tg} \beta + \operatorname{ctg} \beta)^2 - (\operatorname{tg} \beta - \operatorname{ctg} \beta)^2$.

1) $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha - 1} + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha$

Для упрощения выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Из него следуют два равенства: $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$ и $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.

Также известно, что произведение тангенса и котангенса одного угла равно единице: $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$.

Подставим эти тождества в исходное выражение:

$\frac{-\cos^2 \alpha}{-\sin^2 \alpha} + 1 = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 1$

По определению, $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha$, следовательно, $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{ctg}^2 \alpha$.

Выражение принимает вид: $\operatorname{ctg}^2 \alpha + 1$.

Используя еще одно тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, получаем окончательный результат.

Ответ: $\frac{1}{\sin^2 \alpha}$

2) $(\operatorname{tg} \alpha \cos \alpha)^2 + (\operatorname{ctg} \alpha \sin \alpha)^2$

Используем определения тангенса $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и котангенса $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Подставим их в соответствующие скобки:

$(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha)^2 + (\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha)^2$

Сократим дроби в скобках:

$(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Ответ: $1$

3) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha$

Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $\cos^2 \alpha$:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$

Выражение в скобках, согласно основному тригонометрическому тождеству, равно 1: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Подставим это значение в выражение:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$

Вновь применяем основное тригонометрическое тождество и получаем 1.

Ответ: $1$

4) $(\operatorname{tg} \beta + \operatorname{ctg} \beta)^2 - (\operatorname{tg} \beta - \operatorname{ctg} \beta)^2$

Это выражение соответствует формуле разности квадратов вида $(a+b)^2 - (a-b)^2$, которая равна $4ab$.

В данном случае $a = \operatorname{tg} \beta$ и $b = \operatorname{ctg} \beta$.

Применяя формулу, получаем:

$4 \cdot \operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{ctg} \beta$

Так как произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно 1 ($\operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{ctg} \beta = 1$), то выражение упрощается до:

$4 \cdot 1 = 4$

Ответ: $4$

57. Найдите значение выражения $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$, если $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{4}$.

Для нахождения значения данного выражения воспользуемся тем, что $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Чтобы выразить дробь через котангенс, разделим ее числитель и знаменатель на $\sin^2\alpha$. Это действие является корректным, поскольку если бы $\sin\alpha = 0$, то котангенс был бы не определен, что противоречит условию задачи.

Исходное выражение:
$\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}$

Преобразуем числитель:
$\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha$

Преобразуем знаменатель:
$\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 1 - (\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2 = 1 - \text{ctg}^2\alpha$

После преобразования выражение принимает вид:
$\frac{\text{ctg}\alpha}{1 - \text{ctg}^2\alpha}$

Теперь подставим в полученное выражение известное значение $\text{ctg}\alpha = \frac{3}{4}$:

$\frac{\frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{16}{16} - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}}$

Выполним деление дробей, умножив числитель на перевернутый знаменатель:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 4}{7} = \frac{12}{7}$

Ответ: $\frac{12}{7}$

58. Упростите выражение $\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}} - \sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}}$, если $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Для упрощения данного выражения приведем дроби под корнями к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $\sqrt{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}$.

$$ \sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}} - \sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}} = \frac{\sqrt{(1+\sin\alpha)^2}}{\sqrt{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}} - \frac{\sqrt{(1-\sin\alpha)^2}}{\sqrt{(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)}} $$

Объединим дроби:

$$ \frac{\sqrt{(1+\sin\alpha)^2} - \sqrt{(1-\sin\alpha)^2}}{\sqrt{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}} $$

Теперь упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Упрощение знаменателя:

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

$$ \sqrt{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)} = \sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{\cos^2\alpha} = |\cos\alpha| $$

Упрощение числителя:

Используем свойство корня $\sqrt{a^2} = |a|$.

$$ \sqrt{(1+\sin\alpha)^2} - \sqrt{(1-\sin\alpha)^2} = |1+\sin\alpha| - |1-\sin\alpha| $$

Анализ знаков выражений под модулем:

По условию задачи, угол $\alpha$ находится в интервале $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, что соответствует II координатной четверти. В этой четверти:

• $\sin\alpha > 0$. Так как синус не превышает 1, то оба выражения $1+\sin\alpha$ и $1-\sin\alpha$ являются положительными. Следовательно, $|1+\sin\alpha| = 1+\sin\alpha$ и $|1-\sin\alpha| = 1-\sin\alpha$.
• $\cos\alpha < 0$. Следовательно, $|\cos\alpha| = -\cos\alpha$.

Подстановка и финальное упрощение:

Подставим раскрытые модули обратно в выражение:

$$ \frac{|1+\sin\alpha| - |1-\sin\alpha|}{|\cos\alpha|} = \frac{(1+\sin\alpha) - (1-\sin\alpha)}{-\cos\alpha} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{1+\sin\alpha - 1 + \sin\alpha}{-\cos\alpha} = \frac{2\sin\alpha}{-\cos\alpha} $$

Так как отношение $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ равно $\tan\alpha$, получаем:

$$ -2 \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -2\tan\alpha $$

Ответ: $-2\tan\alpha$.

59. Известно, что $tg \alpha = \frac{1}{2}$, $tg \beta = \frac{1}{4}$. Найдите значение выражения $tg(\alpha + \beta)$.

Для того чтобы найти значение выражения $tg(\alpha + \beta)$, необходимо использовать тригонометрическую формулу тангенса суммы двух углов:

$$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}$$

Согласно условию задачи, нам даны следующие значения:

$tg \alpha = \frac{1}{2}$

$tg \beta = \frac{1}{4}$

Теперь подставим эти значения в формулу тангенса суммы:

$$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}}$$

Выполним вычисления по шагам.

1. Вычислим сумму в числителе:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

2. Вычислим разность в знаменателе:

$$1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$

3. Подставим полученные значения числителя и знаменателя обратно в дробь:

$$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{8}}$$

4. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:

$$tg(\alpha + \beta) = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{7} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 7} = \frac{24}{28}$$

5. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$$tg(\alpha + \beta) = \frac{24 \div 4}{28 \div 4} = \frac{6}{7}$$

Ответ: $\frac{6}{7}$.

60. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos(\alpha + \beta) + \sin \alpha \sin \beta}{\cos(\alpha - \beta) - \sin \alpha \sin \beta} = 1;$

2) $\frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos(45^\circ + \alpha)}{2 \sin(45^\circ + \alpha) - \sqrt{2} \sin \alpha} = \mathrm{tg} \alpha.$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулы косинуса суммы и косинуса разности:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $

Подставим эти формулы в выражение в левой части тождества.

Преобразуем числитель:

$ \cos(\alpha + \beta) + \sin\alpha\sin\beta = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta $

Преобразуем знаменатель:

$ \cos(\alpha - \beta) - \sin\alpha\sin\beta = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta $

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = 1 $

Таким образом, левая часть тождества равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами косинуса суммы и синуса суммы:

$ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $

$ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $

А также значениями синуса и косинуса для угла $ 45^\circ $: $ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Раскроем выражения $ \cos(45^\circ + \alpha) $ и $ \sin(45^\circ + \alpha) $:

$ \cos(45^\circ + \alpha) = \cos 45^\circ \cos\alpha - \sin 45^\circ \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $

$ \sin(45^\circ + \alpha) = \sin 45^\circ \cos\alpha + \cos 45^\circ \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) $

Теперь подставим полученные выражения в числитель и знаменатель исходной дроби.

Преобразуем числитель:

$ \sqrt{2}\cos\alpha - 2\cos(45^\circ + \alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha $

Преобразуем знаменатель:

$ 2\sin(45^\circ + \alpha) - \sqrt{2}\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha $

В итоге, левая часть тождества принимает вид:

$ \frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\,\alpha $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.