Страница 414 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

101. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \operatorname{tg} x - 2x$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = \tg x - 2x$ необходимо найти ее производную и исследовать ее знак.

1. Область определения функции.

Функция определена для всех $x$, при которых $\cos x \neq 0$, то есть для всех $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Производная функции.

Найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования:

$f'(x) = (\tg x - 2x)' = (\tg x)' - (2x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 2$.

3. Анализ знака производной.

Функция возрастает, когда ее производная $f'(x) \ge 0$, и убывает, когда $f'(x) \le 0$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю (критические точки):

$f'(x) = 0 \implies \frac{1}{\cos^2 x} - 2 = 0 \implies \cos^2 x = \frac{1}{2}$.

Отсюда $\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Решениями являются точки $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.

Точки разрыва производной совпадают с точками, где не определена исходная функция: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Эти точки разбивают числовую ось на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. В силу периодичности функции $f'(x)$ (ее период $\pi$), достаточно рассмотреть знаки на одном из периодов области определения, например, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

На интервалах $(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4})$ и $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ выполняется неравенство $0 \le \cos^2 x < \frac{1}{2}$. Следовательно, $\frac{1}{\cos^2 x} > 2$, и производная $f'(x) > 0$. Значит, на этих интервалах функция возрастает.

На интервале $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ выполняется неравенство $\frac{1}{2} < \cos^2 x \le 1$. Следовательно, $1 \le \frac{1}{\cos^2 x} < 2$, и производная $f'(x) < 0$. Значит, на этом интервале функция убывает.

Обобщим полученные результаты с учетом периодичности.

Промежутки возрастания

Функция возрастает на тех промежутках, где $f'(x) \ge 0$. С учетом непрерывности функции в критических точках, это промежутки вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, -\frac{\pi}{4} + \pi n]$ и $[\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, -\frac{\pi}{4} + \pi n]$ и $[\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки убывания

Функция убывает на тех промежутках, где $f'(x) \le 0$. С учетом непрерывности функции в критических точках, это промежутки вида $[-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

102. При каких значениях параметра $a$ функция $y = (a + 2) x^3 - 3ax^2 + 9ax - 2$ убывает на $R$?

Для того чтобы функция $y = (a + 2)x^3 - 3ax^2 + 9ax - 2$ убывала на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, необходимо и достаточно, чтобы её производная $y'(x)$ была неположительной для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $y'(x) \le 0$.

Найдем производную функции:

$y'(x) = \frac{d}{dx}((a + 2)x^3 - 3ax^2 + 9ax - 2) = 3(a + 2)x^2 - 6ax + 9a$.

Таким образом, задача сводится к нахождению всех значений параметра $a$, при которых неравенство $3(a + 2)x^2 - 6ax + 9a \le 0$ выполняется для любого действительного числа $x$.

Выражение $y'(x)$ является квадратичной функцией от $x$ (или линейной, если коэффициент при $x^2$ равен нулю).

Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $3(a + 2) = 0$, что дает $a = -2$.

При $a = -2$ производная принимает вид:

$y'(x) = 3(-2 + 2)x^2 - 6(-2)x + 9(-2) = 12x - 18$.

Неравенство $12x - 18 \le 0$ выполняется не для всех $x \in \mathbb{R}$ (например, для $x=2$ оно неверно, так как $12 \cdot 2 - 18 = 6 > 0$). Следовательно, $a = -2$ не является решением.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq -2$. В этом случае $y'(x)$ — это парабола. Чтобы парабола была всегда неположительной, её ветви должны быть направлены вниз, и она не должна иметь точек выше оси абсцисс. Это эквивалентно выполнению двух условий:

1. Коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным: $3(a+2) < 0$.

2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть неположительным: $D \le 0$.

Решим систему этих двух неравенств.

1. Из $3(a+2) < 0$ следует $a+2 < 0$, то есть $a < -2$.

2. Вычислим дискриминант $D$ для $3(a + 2)x^2 - 6ax + 9a = 0$:

$D = (-6a)^2 - 4 \cdot 3(a+2) \cdot 9a = 36a^2 - 108a(a+2) = 36a^2 - 108a^2 - 216a = -72a^2 - 216a$.

Условие $D \le 0$ дает нам неравенство:

$-72a^2 - 216a \le 0$.

Разделим обе части на $-72$ и сменим знак неравенства:

$a^2 + 3a \ge 0$.

Разложим левую часть на множители: $a(a+3) \ge 0$.

Решением этого неравенства является объединение промежутков $a \in (-\infty, -3] \cup [0, +\infty)$.

Нам необходимо найти значения $a$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно:

$\begin{cases} a < -2 \\ a \in (-\infty, -3] \cup [0, +\infty) \end{cases}$

Пересекая множество $a < -2$ с множеством $a \in (-\infty, -3] \cup [0, +\infty)$, получаем $a \in (-\infty, -3]$.

Таким образом, функция убывает на $\mathbb{R}$ при $a \le -3$.

Ответ: $a \le -3$.

103. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$;

2) $f(x) = \frac{x - 1}{x^2}$;

3) $f(x) = (1 - x)\sqrt{x}$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции.
3. Найти критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует).
4. Определить знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения.
5. Сделать выводы о промежутках монотонности и точках экстремума. Если $f'(x) > 0$, функция возрастает; если $f'(x) < 0$, функция убывает. Точка, в которой производная меняет знак с «+» на «−», является точкой максимума, а с «−» на «+» — точкой минимума.

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любых $x$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного или как производную сложной функции:

$f'(x) = \left((x^2 + 1)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x^2 + 1)^{-2} \cdot (x^2)' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная существует на всей области определения. Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю: $-2x = 0$, откуда $x = 0$. Это единственная критическая точка.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

При $x < 0$ (например, $x = -1$), $f'(-1) = -\frac{2(-1)}{((-1)^2 + 1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} > 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty; 0)$ функция возрастает.

При $x > 0$ (например, $x = 1$), $f'(1) = -\frac{2(1)}{(1^2 + 1)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} < 0$. Следовательно, на интервале $(0; +\infty)$ функция убывает.

5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$; функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$; $x_{max} = 0$.

Дана функция $f(x) = \frac{x-1}{x^2}$.

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x-1)' \cdot x^2 - (x-1) \cdot (x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{1 \cdot x^2 - (x-1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x^2 - 2x^2 + 2x}{x^4} = \frac{-x^2 + 2x}{x^4} = \frac{x(2-x)}{x^4} = \frac{2-x}{x^3}$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{2-x}{x^3} = 0$.

Числитель равен нулю: $2-x = 0 \Rightarrow x=2$.

Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; 0)$ (например, $x = -1$), $f'(-1) = \frac{2-(-1)}{(-1)^3} = \frac{3}{-1} = -3 < 0$. Функция убывает.

При $x \in (0; 2)$ (например, $x = 1$), $f'(1) = \frac{2-1}{1^3} = \frac{1}{1} = 1 > 0$. Функция возрастает.

При $x \in (2; +\infty)$ (например, $x = 3$), $f'(3) = \frac{2-3}{3^3} = \frac{-1}{27} < 0$. Функция убывает.

5. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[2; +\infty)$; функция возрастает на промежутке $(0; 2]$; $x_{max} = 2$.

Дана функция $f(x) = (1-x)\sqrt{x}$.

1. Область определения функции: выражение под корнем должно быть неотрицательным, т.е. $x \ge 0$. $D(f) = [0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Удобнее представить функцию в виде $f(x) = \sqrt{x} - x\sqrt{x} = x^{1/2} - x^{3/2}$.

$f'(x) = (x^{1/2} - x^{3/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2}$.

Приведем к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{1 - 3(\sqrt{x})^2}{2\sqrt{x}} = \frac{1 - 3x}{2\sqrt{x}}$.

3. Найдем критические точки. Производная определена при $x > 0$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{1 - 3x}{2\sqrt{x}} = 0$.

Числитель равен нулю: $1 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$.

Производная не существует при $x = 0$, что является граничной точкой области определения. Эта точка также является критической.

4. Определим знаки производной на интервалах $(0; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$.

При $x \in (0; \frac{1}{3})$ (например, $x = \frac{1}{4}$), $f'(\frac{1}{4}) = \frac{1 - 3(1/4)}{2\sqrt{1/4}} = \frac{1/4}{1} > 0$. Функция возрастает.

При $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$ (например, $x = 1$), $f'(1) = \frac{1 - 3(1)}{2\sqrt{1}} = \frac{-2}{2} = -1 < 0$. Функция убывает.

5. В точке $x = \frac{1}{3}$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума. Точка $x=0$ является левой границей области определения, и функция начинает возрастать от этой точки, следовательно, $x=0$ - точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; \frac{1}{3}]$; функция убывает на промежутке $[\frac{1}{3}; +\infty)$; $x_{min} = 0$, $x_{max} = \frac{1}{3}$.

104. Найдите точки минимума и максимума функции $f(x) = \sin x - \cos x + x$.

Для нахождения точек минимума и максимума функции $f(x) = \sin x - \cos x + x$, сначала найдем ее производную и критические точки.

Производная функции: $f'(x) = (\sin x - \cos x + x)' = \cos x - (-\sin x) + 1 = \cos x + \sin x + 1$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:
$\cos x + \sin x + 1 = 0$
$\sin x + \cos x = -1$
Используя метод введения вспомогательного угла, получаем:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = -1$
$\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = -1$
$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решения этого уравнения — две серии точек:
$x+\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x+\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь определим характер этих критических точек с помощью второй производной:
$f''(x) = (\cos x + \sin x + 1)' = -\sin x + \cos x$.

Точки минимума
Проверим знак второй производной в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$:
$f''(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -\sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) + \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -(-1) + 0 = 1$.
Так как $f''(x) > 0$, то эти точки являются точками минимума.
Ответ: Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Точки максимума
Проверим знак второй производной в точках $x = \pi + 2\pi k$:
$f''(\pi + 2\pi k) = -\sin(\pi + 2\pi k) + \cos(\pi + 2\pi k) = 0 + (-1) = -1$.
Так как $f''(x) < 0$, то эти точки являются точками максимума.
Ответ: Точки максимума: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

105. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2\sin x + \sin 2x$ на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\sin x + \sin 2x$ на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Находим производную функции

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (2\sin x + \sin 2x)' = 2\cos x + (\cos 2x) \cdot 2 = 2\cos x + 2\cos 2x$.

Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, чтобы привести производную к выражению, зависящему только от $\cos x$:

$f'(x) = 2\cos x + 2(2\cos^2 x - 1) = 4\cos^2 x + 2\cos x - 2$.

2. Находим критические точки

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует для всех $x$. Приравняем производную к нулю:

$4\cos^2 x + 2\cos x - 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Уравнение примет вид:

$2t^2 + t - 1 = 0$

Находим корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3. Отбираем точки, принадлежащие отрезку $[0; \frac{3\pi}{2}]$

Из всех найденных решений выберем те, что лежат в заданном интервале:

• Из серии $x = \pi + 2\pi n$ отрезку $[0; \frac{3\pi}{2}]$ принадлежит точка $x = \pi$ (при $n=0$).
• Из серии $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ отрезку $[0; \frac{3\pi}{2}]$ принадлежит точка $x = \frac{\pi}{3}$ (при $k=0$).

Таким образом, у нас есть две критические точки внутри отрезка: $\frac{\pi}{3}$ и $\pi$.

4. Вычисляем значения функции

Теперь вычислим значения функции $f(x)$ в найденных критических точках и на концах отрезка ($x=0$ и $x=\frac{3\pi}{2}$):

• $f(0) = 2\sin(0) + \sin(2 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$
• $f(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
• $f(\pi) = 2\sin(\pi) + \sin(2\pi) = 2 \cdot 0 + 0 = 0$
• $f(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot (-1) + \sin(3\pi) = -2 + 0 = -2$

5. Сравниваем полученные значения

Мы получили четыре значения для сравнения: $0$, $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, $0$ и $-2$.

Наибольшее значение функции

Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшим является $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (так как $\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.598 > 0$).

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Наименьшее значение функции

Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшим является $-2$.

Ответ: $-2$